Question

如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，AD與BE相交于點(diǎn)P，BE與CF相交于點(diǎn)Q，CF與AD相交于點(diǎn)R，則AP：PR：RD=

 

．若△ABC的面積為1，則△PQR的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CG∥PE，交AD的延長(zhǎng)線于G，如圖1，易證△ADC≌△CFB，從而可證到∠DRC=60°，進(jìn)而可證到△GRC是等邊三角形．易證△AEP≌△CDR，從而可得AP=CR，PE=RD．設(shè)AP=x，由CG∥PE可得到△APE∽△AGC，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可用x的代數(shù)式表示出AG、PR、PE（即RD）的長(zhǎng)，就可解決問(wèn)題．
（2）連接PC，如圖2，易證△PQR是等邊三角形，從而得到QR=PR=RC，從而有S_△PQR=S_△PRC，然后只需求出

S△CPR

S△CAD

及

S△CAD

S△ABC

，就可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CG∥PE，交AD的延長(zhǎng)線于G，如圖1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，
∴BF=AE=CD．
在△ADC和△CFB中，

AC=CB ∠ACD=∠CBF CD=BF

，
∴△ADC≌△CFB，
∴∠DAC=∠FCB，
∴∠DRC=∠DAC+∠ACR=∠FCB+∠ACR=60°．
同理：∠APE=60°．
∵CG∥PE，∴∠G=∠APE=60°，
∴△GRC是等邊三角形，
∴GR=GC=RC．
在△AEP和△CDR中，

∠PAE=∠RCD ∠APE=∠CRD AE=CD

，
∴△AEP≌△CDR，
∴AP=CR，PE=RD．
設(shè)AP=x，則CR=RG=GC=x．
∵CG∥PE，
∴△APE∽△AGC，
∴

AP

AG

=

PE

GC

=

AE

AC

=

1

3

．
∴AG=3AP=3x，GC=3PE=x即PE=

x

3

，
∴PR=AG-AP-RG=3x-x-x=x，RD=PE=

x

3

，
∴AP：PR：RD=x：x：

x

3

=3：3：1．
故答案為：3：3：1．

（2）連接PC，如圖2．
∵∠QPR=∠APE=60°，∠QRP=∠DRC=60°，
∴△QPR是等邊三角形，
∴QR=PR，
∴QR=RC，
∴S_△PQR=S_△PCR．
∵

S△PCR

S△CAD

=

PR

AD

=

x

x+x+ x 3

=

3

7

（高相等），

S△CAD

S△ABC

=

CD

BC

=

1

3

，
∴

S△PCR

S△ABC

=

S△PCR

S△CAD

•

S△CAD

S△ABC

=

3

7

×

1

3

=

1

7

．
∵S_△ABC=1，
∴S_△PCR=

1

7

，
∴S_△PQR=

1

7

．
故答案為：

1

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、面積及等積變換等知識(shí)，通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形是解決第（1）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用高相等時(shí)三角形的面積比等于底的比是解決第（2）小題的關(guān)鍵．