Question

1．如圖，平面直角坐標系的單位是厘米，直線AB的解析式為y=$\sqrt{3}$x-6$\sqrt{3}$分別與x軸、y軸相交于A、B兩點．點C沿射線BA以3厘米/秒的速度運動，以點C為圓心作半徑為1厘米的⊙C．點P以2厘米/秒的速度在線段OA上來回運動，運動時間為t（t＞0），過點P作直線l垂直于x軸．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）若點C與點P同時從點B，點O開始運動，求直線l與⊙C第二次相切時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，直線l與⊙C相交時t的范圍是0≤t＜2或$\frac{22}{7}$＜t＜$\frac{26}{7}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線方程分別令x，y值為零，即可得出B，A坐標．
（2）先求出第二次相切的時間，繼而求得到P點坐標．
（3）分析可得直線與圓共相切3次，分別算出三次相切時間，即可求得答案．

解答 解：（1）由直線方程，令x=0，得y=-6$\sqrt{3}$，
則B點坐標為（0，-6$\sqrt{3}$）；
令y=0，得x=6，
則A點坐標為（6，0）．

（2）如圖1，直線l與⊙C第2次相切時，
根據(jù)題意得：12-2t=3t•cos60°+1，
解得：t=$\frac{22}{7}$，
則P點橫坐標為：3×$\frac{22}{7}$×cos60°+1=$\frac{40}{7}$，P點縱坐標為：0，
則P點坐標為（$\frac{40}{7}$，0）；

（3）第一次相切時，則2t-3t×cos60°=1，
解得t=2，
第二次相切時，由（2）得：t=$\frac{22}{7}$，
第二次相切時，12-2t=3t•cos60°-1，
解得：t=$\frac{26}{7}$，
故在整個運動過程中，直線l與⊙C相交時t的范圍是：0≤t＜2或$\frac{22}{7}$＜t＜$\frac{26}{7}$．
故答案為：0≤t＜2或$\frac{22}{7}$＜t＜$\frac{26}{7}$．

點評 此題屬于圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系以及三角函數(shù)．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關(guān)鍵．