Question

【題目】如圖，拋物線經過、、三點．

求拋物線的解析式；

如圖①，在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得四邊形的周長最��？若存在，求出四邊形周長的最小值；若不存在，請說明理由．

如圖②，點是線段上一動點，連接，在線段上是否存在這樣的點，使為等腰三角形且為直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】 ．在拋物線的對稱軸上存在點，使得四邊形的周長最小，四邊形周長的最小值為．在線段上存在這樣的點，使為等腰三角形且為直角三角形，點的坐標為或．

【解析】

（1）把點A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解；

（2）A、B關于對稱軸對稱，連接BC，則BC與對稱軸的交點即為所求的點P，此時PA+PC=BC，四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC；根據勾股定理求得BC，即可求得；

（3）分兩種情況分別討論，即可求得．

由已知得解得．

所以，拋物線的解析式為．

∵、關于對稱軸對稱，如圖，連接，

∴與對稱軸的交點即為所求的點，此時，

∴四邊形的周長最小值為：，

∵、、，

∴，，，

∴；

∴在拋物線的對稱軸上存在點，使得四邊形的周長最小，四邊形周長的最小值為．

∵、，

∴直線的解析式為，

①當時，如圖，設，

∵，

∴只能，

∵軸，

∴，

∴，即，解得，

代入得，，解得，

∴；

②當時，如圖，

∵，

∴只能，

設，

∴，

∵，，

∴，

∴，解得，

作，

∴，即，

∴，，

∴，

∴，

綜上，在線段上存在這樣的點，使為等腰三角形且為直角三角形，點的坐標為或．