Question

【題目】如圖①，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與二次函數(shù)y=x2的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為m，n（m＜0，n＞0）．

（1）當(dāng)m=﹣1，n=4時(shí)，k=　，b=�。�
當(dāng)m=﹣2，n=3時(shí)，k=　，b=��；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，用含m，n的代數(shù)式分別表示k與b，并證明你的結(jié)論；
（3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：
如圖②，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，D，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AO，OE，ED．
①當(dāng)m=﹣3，n＞3時(shí)，求 的值（用含n的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)四邊形AOED為菱形時(shí)，m與n滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)____　；
當(dāng)四邊形AOED為正方形時(shí)，m= ， n= ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=x2=1，則A（﹣1，1）；當(dāng)x=4時(shí)，y=x2=16，則B（4，16），

把A（﹣1，1）、B（4，16）分別代入y=kx+b得，解得；

當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=x2=4，則A（﹣2，4）；當(dāng)x=3時(shí)，y=x2=9，則B（3，9），

把A（﹣2，4）、B（3，9）分別代入y=kx+b得，解得；

故答案為：3，4；1，6；

（2）

解：k=m+n，b=﹣mn．理由如下：

把A（m，m2），B（n，n2）代入y=kx+b得，解得；

（3）

解：①當(dāng)m=﹣3時(shí)，A（﹣3，9），

∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，

∴E（3，9），

∵k=m+n，b=﹣mn，

∴k=﹣3+n，b=3n，

∴直線AB的解析式為y=（﹣3+n）x+3n，則D（0，3n），

當(dāng)y=0時(shí)，（﹣3+n）x+3n=0，解得x=，則C（，0），

∴ ==（n＞3）；

②連結(jié)AE交OD于P，如圖②，

∵點(diǎn)A（m，m2）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，

∴E（﹣m，m2），

∴OP=m2，

∵k=m+n，b=﹣mn，

∴D（0，﹣mn），

若四邊形AOED為菱形，則OP=DP，即﹣mn=2m2，所以n=﹣2m；

若四邊形AOED為正方形，則OP=AP，即﹣m=m2，解得m=﹣1，所以n=﹣2m=2．

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由當(dāng)m=﹣1，n=4得A（﹣1，1），B（4，16），然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可得到k和b的值；當(dāng)m=﹣2，n=3時(shí)，用同樣的方法求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A（m，m2），B（n，n2），把它們分別代入y=kx+b得，然后解關(guān)于k、b的方程組即可得到k=m+n，b=﹣mn；
（3）①當(dāng)m=﹣3時(shí)，A（﹣3，9），根據(jù)y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得E（3，9），再由（2）的結(jié)論得k=m+n，b=﹣mn，則直線AB的解析式為y=（﹣3+n）x+3n，接著求出D（0，3n），C（，0），然后根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出 的值；
②連結(jié)AE交OD于P，如圖②，點(diǎn)A（m，m2）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣m，m2），則OP=m2 ， 由于k=m+n，b=﹣mn，則D（0，﹣mn）；若四邊形AOED為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)OP=DP，即﹣mn=2m2 ， 可解得n=﹣2m；若四邊形AOED為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得OP=AP=OP=PD，易得m=﹣1，n=2．