Question

【題目】如圖，點(diǎn)A是⊙O直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC．

∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，

∴∠A=∠B=∠1=∠2．

∵∠ACO=∠DCO+∠2，

∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，

又∵BD是直徑，

∴∠BCD=90°，

∴∠ACO=90°，

又C在⊙O上，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：由題意可得△DCO是等腰三角形，

∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，

∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等邊三角形．

∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，

在直角△BCD中，BC= = =2 ．

又AC=BC，

∴AC=2 ．

作CE⊥AB于點(diǎn)E．

在直角△BEC中，∠B=30°，

∴CE= BC= ，

∴S△ABC= ABCE= ×6× =3 ．

【解析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角，以及直徑所對(duì)的圓周角是直角，利用等量代換證得∠ACO=90°，據(jù)此即可證得；（2）易證∠A=∠B=∠1=∠2=30°，即可求得AC的長(zhǎng)，作CE⊥AB于點(diǎn)E，求得CE的長(zhǎng)，利用三角形面積公式求解．本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．