Question

【題目】在等腰三角形中，過其中的一個(gè)頂點(diǎn)的直線如果能把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)小的等腰三角形，我們稱這種等腰三角形為“少見的三角形”，這條直線稱為分割線，下面我們來研究這類三角形．

（1）等腰直角三角形是不是“少見的三角形”？

（2）已知如圖所示的鈍角三角形是一個(gè)“少見的三角形”，請(qǐng)你畫出分割線的大致位置，并求出頂角的度數(shù)；

（3）銳角三角形中有沒有“少見的三角形”？如果沒有，請(qǐng)說明理由；如果有，請(qǐng)畫出圖形并求出頂角的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形是“少見的三角形”；（2）頂角∠BAC=108°；畫圖見解析；（3）有，頂角是36°；畫圖見解析．

【解析】

（1）畫出圖形，利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算，可得等腰直角三角形是“少見的三角形”；

（2）畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和進(jìn)行解答；

（3）有，畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和進(jìn)行解答．

解：（1）如圖1，

當(dāng)過頂角∠C的頂點(diǎn)的直線CD把△ABC分成了兩個(gè)等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，

設(shè)∠A=x°，

則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，

∴∠BCD=∠B=x°，

∵∠A+∠ACB+∠B=180°

∴x+x+x+x=180，

解得x=45，

則頂角是90°；

∴△ABC是等腰直角三角形，

即等腰直角三角形是“少見的三角形”；

（2）如圖2，

AC=CD=AB，BD=AD，

設(shè)∠B=x°，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B=x°，

∵BD=AD，

∴∠BAD=∠B=x°，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，

∵AC=DC，

∴∠ADC=∠CAD=2x°，

∴∠BAC=3x°，

∴x+x+3x=180，

x=36°，

則頂角∠BAC=108°．

（3）如圖3，

當(dāng)過底角∠CAB的角平分線AD把△ABC分成了兩個(gè)等腰三角形，則有AC=BC，AB=AD=CD，

設(shè)∠C=x°，

∵AD=CD，

∴∠CAD=∠C=x°，

∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，

∵AD=AB，

∴∠B=∠ADB=2x°，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠B=2x°，

∵∠CAB+∠B+∠C=180°，

∴x+2x+2x=180，

x=36°，

則頂角是36°．