Question

如圖，點(diǎn)C和點(diǎn)D在線段AB上，AE∥BF，AE=FB，AC=DB，連接EC、ED、FC、FD．
（1）求證：四邊形ECFD是平行四邊形；
（2）若CE=CF，∠AED=90°，AE=20，ED=15，求AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接AF，BE，EF交AB于點(diǎn)O，由AE∥BF，AE=FB，可證得四邊形AFBE是平行四邊形，則可得OA=OB，OE=OF，繼而證得OC=OD，即可證得四邊形ECFD是平行四邊形；
（2）由CE=CF，可得四邊形ECFD是菱形，又由∠AED=90°，AE=20，ED=15，易求得AD的長，易證得△AOE∽△AED，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答：（1）證明：連接AF，BE，EF交AB于點(diǎn)O，
∵AE∥BF，AE=FB，
∴四邊形AFBE是平行四邊形，
∴OA=OB，OE=OF，
∵AC=DB，
∴OC=OD，
∴四邊形ECFD是平行四邊形；

（2）解：∵CE=CF，四邊形ECFD是平行四邊形，
∴?ECFD是菱形，
∴EF⊥CD，
∵∠AED=90°，AE=20，ED=15，
∴AD=

AE2+ED2

=25，
∵∠AOE=∠AED=90°，∠OAE=∠EAD，
∴△AOE∽△AED，
∴

OE

ED

=

AE

AD

，
∴

OE

15

=

20

25

，
∴OE=12，
∴OC=OD=

DE2-OE2

=9，
∴AC=BD=AD-CD=25-18=7，
∴AB=AD+BD=25+7=32．

點(diǎn)評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．