Question

14、已知：方程x²-2（k-1）x+2k²-12k+17=0，兩根為x₁、x₂，求x₁²+x₂²的最大值與最小值，并求此時(shí)方程的根．

Answer 1

分析：先根據(jù)判別式△≥0求出k的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．

解答：解：方程x²-2（k-1）x+2k²-12k+17=0，兩根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=2k²-12k+17，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=4（k²-2k+1）-2（2k²-12k+17）
=-8k+4+24k-34
=16k-30，
∵△=4（k²-2k+1）-4（2k²-12k+17）
=-4k²+40k-64≥0，
解得：2≤k≤8，
∴當(dāng)k=8時(shí)，最大值為98，方程為x²-14x+49=0，兩根為7；
當(dāng)k=2時(shí)，最小值為2，方程為x²-2x+1=0，兩根為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)判別式△≥0求出k的取值范圍．