Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=20，點(diǎn)P在AB上，AP=6．點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F同時(shí)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PB向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E隨之停止．在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．

（1）當(dāng)t=1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是 ；當(dāng)t=4時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是 ；

（2）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）3； 8. （2）S=．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，根據(jù)PE=2t，PF=t即可求出EF的值，當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后返回，PE=2AP-2t，PF=t，由此即可求出EF的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)H在線段AC上時(shí)，可求出t=，可分兩種情況討論：當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=S正方形EFGH=EF2，只需用t的代數(shù)式表示出EF即可解決問(wèn)題；當(dāng)＜t≤3時(shí)，S=S五邊形EFGMN=S正方形EFGH-S△MHN=EF2-HNHM，只需用t的代數(shù)式分別表示出EF、HN、HM即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，PE=2×1=2，PF=1×1=1，EF=EP+PF=2+1=3．

當(dāng)t=4時(shí)，PE=12-2×4=4，PF=1×4=4，EF=EP+PF=4+4=8．

（2）當(dāng)點(diǎn)H在線段AC上時(shí)，

則有AE=HE=EF，即6-2t=3t，

解得：t=．

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，

EF=EP+PF=2t+t=3t，

則S=9t2；

②當(dāng)＜t≤3時(shí)，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠A=45°．

∵四邊形EFGH是正方形，

∴HE=EF=3t，∠H=∠HEF=90°，

∴∠ANE=90°-45°=45°，

∴∠ANE=∠A=45°，

∴NE=AE=AP-EP=6-2t，

∴HN=HE-NE=3t-（6-2t）=5t-6．

∵∠HNM=∠ANE=45°，

∴∠HMN=90°-45°=45°，

∴∠HMN=∠HNM=45°，

∴HM=HN=5t-6，

∴S=S正方形EFGH-S△NHM

=（3t）2-（5t-6）2

=-t2+30t-18．

綜上所述：S與t的函數(shù)關(guān)系式為

S=．