【題目】如圖,在ABC中,∠BAC90°,∠B60°,AB2ADBCDE為邊BC上的一個(不與B、C重合)點,且AEEFE,∠EAF=∠B,AF相交于點F

1)填空:AC_____;∠F______

2)當BDDE時,證明:ABC≌△EAF

3EAF面積的最小值是____

4)當EAF的內心在ABC的外部時,直接寫出AE的范圍_____

【答案】12,30°;(2)見解析;(3;(4

【解析】

1)利用∠B的正切值可求出AC的長;根據(jù)直角三角形兩銳角互余的關系即可求出∠F的度數(shù);

2)根據(jù)垂直平分線的性質可得AB=AE,利用ASA即可證明△ABC≌△EAF

3)由∠EAF=60°,∠AEF=90°可得EFAE,進而可得AEBC時△EAF面積最小,利用∠B的正弦可求出AE的值,進而可求出△EAF的面積;

4)如圖,當△EAF的內心在AC邊上時,設內心為N,根據(jù)內心的定義可知∠EAC=30°,可求出∠BAE=60°,可證明△BAE是等邊三角形,可求出AE=AB=2,由(1)可知AC=2,即可得出AE的取值范圍.

1)∵∠BAC90°,∠B60°,AB2tanB,

ACABtanB2tan60°2;

AEEF,

∴∠AEF90°

∵∠EAF=∠B60°,

∴∠F90°﹣∠EAF90°60°30°

故答案為:230°;

2)當BDDE時,

ADBCD,

ABAE

∵∠AEF90°,∠BAC90°,

∴∠AEF=∠BAC,

在△ABC和△EAF中,,

∴△ABC≌△EAFASA);

3)∵∠AEF90°,∠EAF60°tanEAF,

EFAEtanEAFAEtan60°AE,

SEAFAEEFAE×AEAE2,

AEBC時,AE最短,SEAF最小,此時∠AEB90°,sinB,

AEABsinB2sin60°,

SEAFAE2×3

∴△EAF面積的最小值是,

故答案為:

4)設△EAF的內心為N,

AEF=45°,B=30°,EBC上的一點,不與B、C重合,

ENAC一定有交點,

如圖:當△EAF內心恰好落在AC上時,連接EN,

N是△EAF的內心,

AN平分∠EAF,EN平分∠AEF,

∴∠EACAEF×60°30°,

∵∠BAC90°,

∴∠BAE=∠BAC﹣∠EAC90°30°60°,

∵∠B60°

∴△ABE是等邊三角形,

AEAB2,

EBC上的一點,不與BC重合,由(1)可知AC2,

∴當△EAF的內心在△ABC的外部時,

故答案為:

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