Question

已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，點P是△ABC的中線AD上的任意一點（不與點A重合．將線段AP繞點A逆時針旋轉到AQ，使∠PAQ=∠BAC，連接BP，CQ
（1）求證：BP=CQ．
（2）設直線BP與直線CQ相交于點E，∠BAC=α，∠BEC=β，
①若點P在線段AD上移動（不與點A重合），則“α與β之間有怎樣的數量關系？并說明理由．
②若點P在直線AD上移動（不與點A重合）．則α與β之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論．

Answer 1

分析：（1）由∠PAQ=∠BAC，等式左右兩邊都減去∠PAC，得到∠BAP=∠CAQ，由旋轉得到AP=AQ，再由AB=AC，利用SAS得出△ABP≌△ACQ，利用全等三角形的對應邊相等可得證；
（2）①若點P在線段AD上移動（不與點A重合），α=β，理由為：由（1）知△ABP≌△ACQ，得到對應角∠ABP=∠ACQ，再由一對對應角相等，利用三角形的內角和定理得到∠BAC=∠BEC，即α=β；
②若點P在直線AD上移動（不與點A重合），如圖所示，同理可得α與β之間相等或互補．

解答：（1）證明：∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠PAC=∠BAC-∠PAC，即∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，

AB=AC ∠BAP=∠CAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴BP=CQ；
（2）解：①若點P在線段AD上移動（不與點A重合），此時α=β，理由如下：
由（1）知△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABO和△ECO中，∠AOB=∠EOC，∠ABP=∠ACQ，
∴∠BAC=∠BEC，即α=β；
②若點P在直線AD上移動（不與點A重合），α與β之間的數量關系是相等或互補，
相等理由同①；互補理由為：如圖所示，
由（1）知△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ，
又∠ACQ=∠ECO，
∴∠ABP=∠ECO，又∠EOC=∠AOB，
∴△ECO∽△AOB，
∴∠CEO=∠OAB，
∵∠PEQ+∠CEO=180°，
∴∠PEQ+∠BAC=180°，即α+β=180°．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，以及相似三角形的判定與性質，利用了轉化及數形結合的數學思想，是一道綜合性較強的探究型題．