Question

6．已知：AB是⊙O的直徑，DA、DC分別是⊙O的切線，點A、C是切點，連接DO交弧AC于點E，連接AE、CE．
（1）如圖1，求證：EA=EC；
（2）如圖2，延長DO交⊙O于點F，連接CF、BE交于點G，求證：∠CGE=2∠F；
（3）如圖3，在（2）的條件下，DE=$\frac{1}{2}$AD，EF=2$\sqrt{5}$，求線段CG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)切線的性質得到OA⊥DA，OC⊥DC，由垂直的定義得到∠DAO=∠DCO=90°，推出Rt△ODA≌Rt△ODC，根據(jù)全等三角形的性質得到∠EOA=∠EOC，由等腰三角形的判定得到結論；
（2）連接OC，BE，由（1）證得∠AOE=∠COE，根據(jù)圓周角定理得到∠B=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠F=$\frac{1}{2}$∠COE，得到∠B=∠F，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠B=∠OEB，于是得到∠F=∠OEG，根據(jù)三角形的外角的性質即可得到結論；
（3）由圓周角定理得到∠ECF=90°求得OA=OE=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{5}$，設DE=m，AD=2m，根據(jù)勾股定理列方程得到m₁=0（舍去），m₂=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，于是得到DA=$\frac{4}{3}\sqrt{5}$，DO=$\frac{5}{3}\sqrt{5}$，在Rt△ADO中，tan∠DOA=$\frac{DA}{OA}$=$\frac{4}{3}$，cos∠DOA=$\frac{OA}{DO}$=$\frac{3}{5}$，得到tan∠EGC=$\frac{4}{3}$，過點E作EH⊥AB于點H，在Rt△EOH中OH=OE•cos∠EOH=$\sqrt{5}•\frac{3}{5}$=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$，于是得到EH=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$AH=AO-OH=$\sqrt{5-}\frac{3}{5}\sqrt{5}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，根據(jù)勾股定理求得EC=2，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論．

解答 （1）證明：如圖1，連接OC，
∵DA、DC分別是⊙O的切線，點A、C是切點，OA、OC是半徑，
∴OA⊥DA，OC⊥DC，
∴∠DAO=∠DCO=90°，
在Rt△ODA和Rt△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODA≌Rt△ODC，
∴∠EOA=∠EOC，
∴AE=CE；

（2）證明：如圖2，連接OC，BE，由（1）證得∠AOE=∠COE，
又∵∠B=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠F=$\frac{1}{2}$∠COE，
∴∠B=∠F，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∴∠F=∠OEG，
∵∠EGC是△EGF的外角，
∴∠EGC=∠F+∠GEF=2∠F，
即∠EGC=2∠F；

（3）解：∵EF是⊙O的直徑，
∴∠ECF=90°
∵EF=2$\sqrt{5}$，
∴OA=OE=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{5}$，
∵DE=$\frac{1}{2}$AD，設DE=m，
∴AD=2m，
在Rt△DAO中，OA²+DA²=OD²，
∴${（{\sqrt{5}}）^2}+{（{2m}）^2}={（{m+\sqrt{5}}）^2}$，
解得m₁=0（舍去），m₂=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，
∴DA=$\frac{4}{3}\sqrt{5}$，DO=$\frac{5}{3}\sqrt{5}$，
∴在Rt△ADO中，tan∠DOA=$\frac{DA}{OA}$=$\frac{4}{3}$，cos∠DOA=$\frac{OA}{DO}$=$\frac{3}{5}$，
∵∠EOA=2∠B，∠EGC=2∠F，
∴∠EGC=∠EOA，
∴tan∠EGC=$\frac{4}{3}$，
如圖3，過點E作EH⊥AB于點H，
在Rt△EOH中OH=OE•cos∠EOH=$\sqrt{5}•\frac{3}{5}$=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$，
∴EH=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$AH=AO-OH=$\sqrt{5-}\frac{3}{5}\sqrt{5}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
在Rt△EHA中，EA²=AH²+EH²，
∴EA=2，
∵AE=CE，
∴EC=2，
在Rt△ECG中，tan∠EGC=$\frac{EC}{GC}$=$\frac{2}{GC}=\frac{4}{3}$，
∴GC=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形外角的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．