Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+mx+n中得：

，

解得： ，

∴拋物線的表達(dá)式為：

（2）

解： =﹣ （x﹣ ）2+ ；

∴D（ ，0），

在Rt△OCD中，OC=2，OD= ，

由勾股定理得：CD= = ，

①當(dāng)CD=DP1時(shí)，△PCD是等腰三角形，

∴P1（ ， ），

②當(dāng)CD=DP2時(shí)，△PCD是等腰三角形，

∴P2（ ，﹣ ），

③當(dāng)CD=CP3時(shí)，△PCD是等腰三角形，

過C作CE⊥DP1于E，

∵C（0，2），

∴DE=OC=2，

∵CD=CP3，

∴DE=P3E=2，

∴P3（ ，4），

綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1（ ， ），P2（ ，﹣ ），P3（ ，4）

（3）

解：如圖2，

∵A（﹣1，0），對稱軸是：x= ，

∴B（4，0），

設(shè)BC的解析式為：y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得： ，

解得： ，

∴BC的解析式為：y=﹣ x+2，

設(shè)E ，F(xiàn)（ ，

∴EF=﹣ ﹣（﹣ m+2）=﹣ +2m，

∴S四邊形BDCF=S△BCD+S△BFC= BDOC+ EFOB= × ×2+ （﹣ +2m）×4，

S=﹣m2+4m+2.5，

=﹣（m﹣2）2+6.5（0＜m＜4），

當(dāng)m=2時(shí)，﹣ m+2=﹣ ×2+2=1，

∴當(dāng)m=2時(shí)，四邊形CDBF的面積最大，最大為6.5，此時(shí)E（2，1）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式；（2）以CD為腰的等腰三角形有三個(gè)：①②以D為圓心，以CD為半徑畫弧交對稱軸于P1、P2 ， ③以C為圓心，以CD為半徑畫弧，交對稱軸于P3 ， 分別求出這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）先根據(jù)對稱性求點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），再求直線BC的解析式，設(shè)出點(diǎn)E和F的坐標(biāo)，表示EF的長；則四邊形BDCF的面積等于兩個(gè)三角形面積的和，其中△BDC是定值，△BFC的面積=鉛直高度與水平寬度的積，代入面積公式可求得S的解析式，求最值即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn))，還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．