【題目】在第一象限內(nèi)作射線OC,與x軸的夾角為60°,在射線OC上取一點A,過點A作AH⊥x軸于點H,在拋物線y=x2(x>0)上取一點P,在y軸上取一點Q,使得以P,O,Q為頂點的三角形與△AOH全等,則符合條件的點A的坐標(biāo)是

【答案】( ,3)或( , )或( , )或(2,2
【解析】解:①如圖1,當(dāng)∠POQ=∠OAH=30°,若以P,O,Q為頂點的三角形與△AOH全等,那么A、P重合;
∵∠AOH=60°,
∴直線OA:y= x,
聯(lián)立拋物線的解析式得: ,
解得: ,
故A( ,3);
②當(dāng)∠POQ=∠AOH=60°,此時△POQ≌△AOH,
易知∠POH=30°,則直線y= x,聯(lián)立拋物線的解析式,
得: ,
解得:
故P( , ),那么A( , );
③當(dāng)∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=60°時,此時△QOP≌△AOH;
易知∠POH=30°,則直線y= x,聯(lián)立拋物線的解析式,
得:
解得: ,
故P( ),
∴OP= = ,QP= ,
∴OH=OP= ,AH=QP= ,
故A( );
④當(dāng)∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=30°,此時△OQP≌△AOH;
此時直線y= x,聯(lián)立拋物線的解析式,
得:
解得: ,
∴P( ,3),
∴QP=2,OP=2 ,
∴OH=QP=2,AH=OP=2 ,
故A(2,2 ).
綜上可知:符合條件的點A有四個,分別為:( ,3)或( , )或( , )或(2,2 ).
故答案為:( ,3)或( , )或( )或(2,2 ).
由于兩三角形的對應(yīng)邊不能確定,故應(yīng)分四種情況進(jìn)行討論:
①∠POQ=∠OAH=30°,此時A、P重合,可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式,即可得A點坐標(biāo),由三角形的面積公式即可得出結(jié)論;
②∠POQ=∠AOH=60°,此時∠POH=30°,即直線OP:y= x,聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標(biāo),進(jìn)而可求出OQ、PQ的長,由于△POQ≌△AOH,那么OH=OQ、AH=PQ,由此得到點A的坐標(biāo),由三角形的面積公式即可得出結(jié)論;
③當(dāng)∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=60°時,此時△QOP≌△AOH,得到點A的坐標(biāo),由三角形的面積公式即可得出結(jié)論;
④當(dāng)∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=30°,此時△OQP≌△AOH,得到點A的坐標(biāo),由三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

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②當(dāng)點D在直線BC上移動,則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論.

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