Question

2．某廠家生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖中的折線ABD，線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y₁（單位：元），銷售價(jià)y₂（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系．
（1）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)D的實(shí)際意義．
（2）求線段CD所表示的y₂與x之間的函數(shù)表達(dá)式．
（3）當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義：當(dāng)產(chǎn)量為140kg時(shí)，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價(jià)相等，都為40元；
（2）根據(jù)線段AB經(jīng)過的兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式即可；
（3）先求出銷售價(jià)y₂與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系，利用：總利潤=每千克利潤×產(chǎn)量列出有關(guān)x的二次函數(shù)，求得最值即可．

解答 解：（1）點(diǎn)D的實(shí)際意義：當(dāng)產(chǎn)量為140kg時(shí)，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價(jià)相等，都為40元．

（2）設(shè)線段CD所表示的y₂與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y₂=k₁x+b₁，
∵點(diǎn)（0，124），（140，40）在函數(shù)y₂=k₁x+b₁的圖象上
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=124}\\{140{k}_{1}+_{1}=40}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{3}{5}}\\{_{1}=124}\end{array}\right.$，
∴y₂與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y₂=-$\frac{3}{5}$x+124（0≤x≤140）；

（3）設(shè)線段AB所表示的y₁與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y₁=k₂x+b₂，
∵點(diǎn)（0，60），（100，40）在函數(shù)y₁=k₂x+b₂的圖象上
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{2}=60}\\{100{k}_{2}+_{2}=40}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{1}{5}}\\{_{2}=60}\end{array}\right.$，
∴y₁與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y₁=-$\frac{1}{5}$x+60（0≤x≤100）
設(shè)產(chǎn)量為x千克時(shí)，獲得的利潤為W元
①當(dāng)0≤x≤100時(shí)，W=[（-$\frac{3}{5}$x+124）-（-$\frac{1}{5}$x+60）]x=-$\frac{2}{5}$（x-80）²+2560，
∴當(dāng)x=80時(shí)，W的值最大，最大值為2560元．
②當(dāng)100≤x≤140時(shí)，W=[（-$\frac{3}{5}$x+124）-40]x=-$\frac{3}{5}$（x-70）²+2940
由-$\frac{3}{5}$＜0知，當(dāng)x≥70時(shí)，W隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=100時(shí)，W的值最大，最大值為2400元．
∵2560＞2400，
∴當(dāng)該產(chǎn)品的質(zhì)量為80kg時(shí)，獲得的利潤最大，最大利潤為2560元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型．