Question

如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF，DF，BE，CE，AF與BE交于G，DF與CE交于H．求證：四邊形EGFH為菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形式平行四邊形，可證明四邊形AECF、BEDF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得GF與EH、EG與FH的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得EGFH的形狀，根據(jù)三角形全等，可得EG與FG的關(guān)系，根據(jù)菱形的定義，可得證明結(jié)論．

解答：證明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四邊形AECF、BEDF是平行四邊形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
在△AEG和△FBG中，

∠AEG=∠FBG ∠EAG=∠BFG AE=BF

，
∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GB，AG=GF，
在△ABE和△BAF中
∵

AE=BF ∠EAB=∠ABF AB=AB

，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AF=BE，
∵EG=GB=

1

2

BE，AG=GF=

1

2

AF，
∴EG=GF，
∴四邊形EGFH是菱形．

點(diǎn)評(píng)：考查了菱形的判定，牢記有關(guān)菱形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．