Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+m（m＞0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A作x軸的垂線交直線y=x于點(diǎn)D，C點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），連接CD．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）連接BC交OD于點(diǎn)H（如圖2），求證：DH=BC；
（3）若m=2，E為射線AD上的一點(diǎn)，且AE=BE，F(xiàn)為EB延長線上的一點(diǎn)，連FA，作∠FAN交y軸于點(diǎn)N，且∠FAN=∠FBO（如圖3），當(dāng)點(diǎn)F在EB的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NB-FB的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出NB-FB的值；若變化，請求出其變化范圍．

Answer 1

（1）證明：當(dāng)x=0時(shí)，y=m，
當(dāng)y=0時(shí)，-x+m=0，解得x=2m，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是A（2m，0），B（0，m），
∴OA=2m，OB=m，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），
∴OC=m，AC=2m-m=m，
∴AC=OB，
∵D點(diǎn)在直線y=x，
∴OA=AD=2m，
又AD⊥x軸，
∴∠DAC=∠AOB=90°，
在△AOB與△DAC中，
，
∴△AOB≌△DAC（SAS），
∴∠ABO=∠DCA，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO+∠DCA=90°，
∴CD⊥AB；

（2）證明：根據(jù)（1）的結(jié)論，OC=OB=m，
∴BC===m，
∵OA=AD=2m，
∴∠AOD=45°，
∴OH=OCsin45°=m，OD=OC÷cos45°=2m，
∴DH=OD-OH=2m-m=m，
∴==，
∴DH=BC；

（3）解：如圖，取OC=OB，連接AC，根據(jù)對(duì)稱性可得∠ABC=∠ACB，AB=AC，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵E為射線AD上的一點(diǎn)，
∴AE∥y軸，
∴∠EAB=∠ABC，
∴∠ACB=∠EBA，
∴180°-∠EBA=180°-∠ACB，
即∠ABF=∠ACN，
∵∠FAN=∠FBO，
∴∠AFB=∠ANC，
在△ABF與△ACN中，
，
∴△ABF≌△ACN（AAS），
∴BF=CN，
∴NB-FB=NB-CN=BC=2OB，
∵OB=m，m=2，
∴NB-FB=2×2=4（是定值），
即當(dāng)點(diǎn)F在EB的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NB-FB的值不會(huì)發(fā)生變化．
分析：（1）根據(jù)直線y=-x+m可以求出OB=m，OA=2m，由C點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），可以求出OC=m，求出AC=m，得AC=OB，由D點(diǎn)在直線y=x上可以知道OA=AD，從而證明△AOB≌△DAC，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABO=∠DCA，從而可以推出∠BAO+∠DCA=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可得OC=OB，利用勾股定理求出BC的長度，根據(jù)OA=AD可得∠AOD=45°，根據(jù)等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系求出OH、OD，從而求出DH的長，兩者相比即可得證；
（3）在y負(fù)半軸上取OC=OB，連接AC，根據(jù)對(duì)稱性可得∠ABC=∠ACB，AB=AC，根據(jù)AE=BE可得∠EAB=∠EBA，又AE∥y軸，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EAB=∠ABC，從而得到∠ACB=∠EBA，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠ABF=∠ACN，再根據(jù)∠FAN=∠FBO利用三角形的內(nèi)角和定理可以求出∠AFB=∠ANC，然后證明△ABF與△ACN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=CN，再根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到NB-FB=NB-CN=2OB=2m=4，所以其值不會(huì)發(fā)生變化．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)的問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（3）中作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．