Question

【題目】如圖所示，直線y=+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，P，O(原點(diǎn)).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使∠QAO=45°?如果存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y=-x2-x；（2）存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】（1）根據(jù)直線AB的解析式，可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，而P為線段AB的中點(diǎn)，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為B點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半，由于拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，那么c=0，根據(jù)公式法表示出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可求得b的值，由此確定該拋物線的解析式．（2）此題應(yīng)分兩種情況討論：①當(dāng)Q點(diǎn)在x軸上方時(shí)，由于∠OAQ=45°，那么直線AQ的斜率為k=1，而A點(diǎn)坐標(biāo)易求得，即可得到直線AQ的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)Q點(diǎn)在x軸下方時(shí)，方法同①．

(1)直線y=+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，且P為線段AB的中點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c過A，P，O三點(diǎn)，

∴OB=3，c=0，P必為拋物線的頂點(diǎn)，

∴=，∴b=±.

又∵x=-=<0，∴b<0，∴b=-.

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2-x.

(2)存在.

∵拋物線y=-x2-x經(jīng)過點(diǎn)A，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4，0).

設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，∵∠QAO=45°，

∴x=-4+y.

將其代入拋物線的關(guān)系式中得y=-(-4+y)2-(-4+y)，解得y1=0(舍去)，y2=.

當(dāng)y=時(shí)，x=-.

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.