【題目】如圖,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,點D在邊AC上且BD平分∠ABC,設CD=x.
(1)求證:△ABC∽△BCD;
(2)求x的值;
(3)求cos36°-cos72°的值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
試題(1)由等腰三角形ABC中,頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù),再由BD為角平分線求出∠DBC的度數(shù),得到∠DBC=∠A,再由∠C為公共角,利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形BCD相似;
(2)根據(jù)(1)結論得到AD=BD=BC,根據(jù)AD+DC表示出AC,由(1)兩三角形相似得比例求出x的值即可;
(3)過B作BE垂直于AC,交AC于點E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中,利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36°與cos72°的值,代入原式計算即可得到結果.
試題解析:(1)∵等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=36°,
∵∠CBD=∠A=36°,∠C=∠C,
∴△ABC∽△BCD;
(2)∵∠A=∠ABD=36°,
∴AD=BD,
∵BD=BC,
∴AD=BD=CD=1,
設CD=x,則有AB=AC=x+1,
∵△ABC∽△BCD,
∴,即,
整理得:x2+x-1=0,
解得:x1=,x2=(負值,舍去),
則x=;
(3)過B作BE⊥AC,交AC于點E,
∵BD=CD,
∴E為CD中點,即DE=CE=,
在Rt△ABE中,cosA=cos36°=,
在Rt△BCE中,cosC=cos72°=,
則cos36°-cos72°=-=.
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【題目】如圖,平面上有射線和點,,請用尺規(guī)按下列要求作圖:
(1)連接,并在射線上截取;
(2)連接、,并延長到,使
(3)在(2)的基礎上,取中點,若,,求的值.
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【題目】某校組織學生開展課外社會實踐活動,現(xiàn)有甲、乙兩種大客車可租,已知1輛甲種客車和3輛乙種客車共需租金1240元,3輛甲種客車和2輛乙種客車共需租金1760元.
(1)求1輛甲種客車和1輛乙種客車的租金分別是多少元?
(2)學校計劃租用甲、乙兩種客車共8輛,甲種客車每輛載客量45人,乙種客車每輛載客量30人,共有師生330人,求最節(jié)省的租車費用是多少元?
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【題目】如圖,點B,E,C,F(xiàn)在同一條直線上,AB=DE,∠B=∠DEF.要使△ABC≌△DEF,則需要再添加的一個條件是_______.(寫出一個即可)
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【題目】我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”.如圖,直線l:y=kx+4與x軸、y軸分別交于A、B,∠OAB=30°,點P在x軸上,⊙P與l相切,當P在線段OA上運動時,使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是( 。
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,D是⊙O上一點,且AD∥OC
(1)求證:△ADB∽△OBC;
(2)若AB=2,BC=,求AD的長(結果保留根號).
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【題目】(10分)如圖,已知AB是⊙O的直徑,點P在BA的延長線上,PD切⊙O于點D,過點B作BE垂直于PD,交PD的延長線于點C,連接AD并延長,交BE于點E.
(1)求證:AB=BE;
(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半徑的長.
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【題目】“水是生命之源”,某市自來水公司為了鼓勵居民節(jié)約用水,規(guī)定按以下標準收取水費:
月用水量(噸) | 單價(元/噸) |
不超過25噸 | 1.4 |
超過25噸的部分 | 2.1 |
另:每噸用水加收0.95元的城市污水處理費 |
(1)如果1月份小明家用水量為18噸,那么小明家1月份應該繳納水費 元;
(2)小明家2月份共繳納水費104.5元,那么小明家2月份用水多少噸?
(3)小明家的水表3月份出了故障,只有80%的用水量記入水表中,這樣小明家在3月份只繳納了56.4元水費,問小明家3月份實際應該繳納水費多少元?
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【題目】如圖所示,直線y=+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點,P是線段AB的中點,拋物線y=-x2+bx+c經過點A,P,O(原點).
(1)求拋物線的表達式;
(2)在x軸上方的拋物線上是否存在一點Q,使∠QAO=45°?如果存在,求出Q點的坐標;如果不存在,請說明理由.
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