Question

如圖，D是△ABC的BC邊上的一點，且CD=AB，∠BDA=∠BAD．AE是△ABD的中線，延長AE到F，使EF=AE，連接DF．求證：AE=

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AC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：由AE為中線，得到BE=ED，再由AE=EF，且夾角為對頂角相等，利用SAS得到三角形ABE與三角形FDE全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到AB=DF，∠BAE=∠EFD，利用外角性質(zhì)及等式的性質(zhì)得到∠ADF=∠ADC，利用SAS得到三角形ADF與三角形ADC全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AF=AC，由AE=

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AF，等量代換即可得證．

解答：證明：∵AE是△ABD的中線，
∴BE=ED，
在△ABE與△FDE中，

BE=DE ∠AEB=∠DEF AE=EF

，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC=∠ACD，∠ADB=∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF=∠ADC，
在△ADF與△ADC中，

AD=AD ∠ADF=∠ADC FD=DC

，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴AF=AC，
∵AF=AE+EF，AE=EF，
∴AC=2AE．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．