【題目】某八年級數(shù)學(xué)興趣小組對三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系進行了探究.

1)如圖1,ABC的兩內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線交于點E,求證:∠BEC=90°+A;

2)如圖2ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線與ABC的外角∠ACM的平分線交于點E,請寫出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系,并證明.

3)如圖3,ABC的兩外角∠DBC與∠BCF的平分線交于點E,請你直接寫出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系,不需證明.

【答案】1)證明見解析;(2)∠A=2E,證明見解析;(3)∠E=90°-A

【解析】

1)先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠EBC=ABC,∠ECB=ACB,再由三角形內(nèi)角和定理得出∠BEC+EBC+ECB=180°,利用等量代換即可得出結(jié)論;

2)先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠EBC=ABC,∠ECM=ACM,再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

3)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB,然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.

1)∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB,

∴∠EBC=ABC,∠ECB=ACB,

∴∠BEC+EBC+ECB=180°

∴∠BEC=180°-(∠EBC+ECB

=180°- ABC+ACB=180°-(∠ABC+ACB

=180°-180°-A

=180°-90°+A

=90°+A

2)∵BE是∠ABC的平分線,CE是∠ACM的平分線,

∴∠EBC=ABC,∠ECM=ACM

∵∠ACMABC的外角,∠ECMBCE的外角,

∴∠ACM=A+ABC,∠ECM=BEC+EBC,

∴∠ECM=ACM=(∠A+ABC=BEC+EBC,即A+EBC=BEC+EBC,

∴∠A=2BA=2C,即∠A=2E

3)結(jié)論∠E=90°-A

∵∠CBD與∠BCFABC的外角,

∴∠CBD=A+ACB,∠BCF=A+ABC,

BE,CE分別是∠ABC與∠ACB的平分線,

∴∠EBC=(∠A+ACB),∠ECB=(∠A+ABC).

∵∠EBC+ECB+E=180°

∴∠E=180°-EBC-ECB,

=180°-(∠A+ACB-(∠A+ABC),

=180°-A-(∠A+ABC+ACB),

=180°-A-90°

=90°-A

練習(xí)冊系列答案
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【題目】請借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗,探索函數(shù)y=+2的圖象和性質(zhì).

(1)自變量x的取值范圍為   ;

(2)填寫下表,畫出函數(shù)的圖象;

x

﹣5

﹣4

﹣3

﹣2

﹣1

0

2

3

4

5

6

7

y

1

0.8

0.5

﹣1

﹣4

8

(3)觀察圖象,寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì);

(4)若x>3,則y的取值范圍為   ;若y<﹣1,則x的取值范圍為   

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A. 4B. 3C. 2D. 1

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①a=1;②若函數(shù)yx的增大而減小,則x的取值范圍一定是x<0;

若方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有兩個實數(shù)解,則k的取值范圍是k>1;

M(m1,n),N(m2,n),P(m3,n),Q(m4,n)(n>0)是上述函數(shù)圖象的四個不同點,且m1<m2<m3<m4,則有m2+m3﹣m1=m4.其中正確的結(jié)論有(  )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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(1)寫出△AOC的頂點C的坐標(biāo):_____

(2)將△AOC沿x軸向右平移得到△OBD,則平移的距離是_____

(3)將△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OBD,則旋轉(zhuǎn)角可以是_____

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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