【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB8,BC6,點(diǎn)E,F分別為AB,AD邊上任意一點(diǎn),現(xiàn)將△AEF沿直線EF對(duì)折,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G

1)如圖2,當(dāng)EFBD,且點(diǎn)G落在對(duì)角線BD上時(shí),求DG的長(zhǎng);

2)如圖3,連接DG,當(dāng)EFBD且△DFG是直角三角形時(shí),求AE的值;

3)當(dāng)AE2AF時(shí),FG的延長(zhǎng)線交△BCD的邊于點(diǎn)H,是否存在一點(diǎn)H,使得以E,H,G為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似,若存在,請(qǐng)求出AE的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

【答案】1;(2AE;(3)存在,滿足條件的AE的值為3

【解析】

1)連接AG,如圖2所示,首先證明AGBD,解直角三角形即可解決問(wèn)題;

2)分兩種情形:當(dāng)∠DGF90°時(shí),此時(shí)點(diǎn)D,G,E三點(diǎn)共線,當(dāng)∠GDF90°時(shí),點(diǎn)GDC上,過(guò)點(diǎn)EEHCDH,則四邊形ADHE是矩形,分別求解即可;

3)分四種情形:當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí),如圖41,過(guò)點(diǎn)HHPABP;當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí),如圖42,過(guò)點(diǎn)HHPABP;當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí),如圖43,過(guò)點(diǎn)GMNABAD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)EENMNN;當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí),如圖44,過(guò)點(diǎn)GMNABAD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)EENMNN,過(guò)點(diǎn)HHQADQ,分別求解即可.

解:(1)連接AG,如圖2所示,

由折疊得:AGEF,

EFBD

AGBD,

在矩形ABCD中,AB8,BC6,

∴∠DAB90°,ADBC6

DB10,

cosADB,

DGADcosADB6×;

2當(dāng)∠DGF90°時(shí),此時(shí)點(diǎn)D,GE三點(diǎn)共線,

設(shè)AF3t,則FG3t,AE4tDF63t,

RtDFG中,DG2+FG2DF2,即DG2=(63t2﹣(3t23636t,

tanFDG,

,

解得t,

AE

當(dāng)∠GDF90°時(shí),點(diǎn)GDC上,過(guò)點(diǎn)EEHCDH,則四邊形ADHE是矩形,EHAD6

設(shè)AF3t,則FG3tAE4t,DF63t,

∵∠FDG=∠FGE=∠EHG90°,

∴∠DGF+DFG90°,∠DGF+EGH90°,

∴∠DFG=∠EGH

∴△GDF∽△EHG,

,

DG,GH84k

DG+GHAE,

+84k4k,

k,

AE,

綜上所述:AE

3當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí),如圖41,過(guò)點(diǎn)HHPABP,

∵∠AEF=∠FEG=∠EHG,∠EHG+HEG90°,

∴△FEG+HEG90°,

∴∠A=∠FEH90°,

∴△AEF∽△EHF

EFHEAFAE12,

∵∠A=∠HPE90°,

∴∠AEF+HEP90°,∠HEP+EHP90°,

∴∠AEF=∠EHP,

∴△AEF∽△HPE,

EAHPEFEH12,

HP6

AE3;

當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí),如圖42,過(guò)點(diǎn)HHPABP,

同法可得EFHE12EAHP12,

設(shè)AFt,則AE2t,EP2tHP4t,

BP84t,

∵△BHP∽△BDA,

4t6=(84t):8,

解得:t,AE;

當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí),如圖43,過(guò)點(diǎn)GMNABAD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)EENMNN

設(shè)AFt,則AE2t,DF6t,

由翻折可知:△AEF≌△GEF,AEGE

∵△AEF∽△GEH,AEGE,

∴△AEF≌△GEHAASASA),

FGGH,

MGDH,

FM6t),

AMENAF+FM

又∵△FMG∽△GNE,且GFGE12,

MGNEAMGN2FN6t,

MNAE,

+6t2t,

解得t

AE;

當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí),如圖44,過(guò)點(diǎn)GMNABAD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)EENMNN,過(guò)點(diǎn)HHQADQ,設(shè)AFt,則AE2t

設(shè)FMa,

NG2a,NEa+t

MGENAM,

+2a2t,

由上題可知:MFMQa,QH2MGa+t,

DQ6t2a

,

解得t,

AE,

綜上所述,滿足條件的AE的值為3

練習(xí)冊(cè)系列答案
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分?jǐn)?shù)段(表示分?jǐn)?shù))

頻數(shù)

頻率

4

0.1

8

0.3

10

0.25

6

0.15

1)請(qǐng)求出該校隨機(jī)抽取了____學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì);

2)表中____,____,并補(bǔ)全直方圖;

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;

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④點(diǎn)(,0)一定在此拋物線上.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )

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