Question

6．如圖1，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過點A（4，0）和點B（0，4）交x軸負半軸于點C，過OB的中點E作EF∥x軸，點D在線段CA上，過點D作直線PQ∥y軸，交直線EF于點Q，交拋物線于點P，連接AE，BQ，設點D的橫坐標為m，PQ的長度為n．
（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當以點B、E、Q為頂點的三角形與△OEA相似時，直接寫出m的值；
（3）當-2≤m≤0時，求n與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）如圖2，以QD為一邊向右作正方形QDMN，直接寫出正方形QDMN的邊與拋物線恰好有兩個交點時m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）由∠BEQ=∠AOE，分兩種情況討論用相似三角形得出的比例式計算即可；

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過點A（4，0）和點B（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
（2）∵拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
∴C（-2，0）
∵A（4，0）和點B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
∵點E是OB中點，
∴OE=BE=2，
∵點D的橫坐標為m（-2≤m≤4），
∴EQ=|m|，
∵EF∥x軸，
∴∠BEQ=∠AOE，
∵以點B、E、Q為頂點的三角形與△OEA相似，
①△EQB∽△OEA，
∴$\frac{EQ}{OE}=\frac{BE}{OA}$，
∴$\frac{|m|}{2}=\frac{2}{4}$，
∴m=1或m=-1，
②△EBQ∽△OEA，
∴$\frac{EQ}{OA}=\frac{BE}{OE}$，
∴$\frac{|m|}{4}=\frac{2}{2}$，
∴m=4或m=-4（舍），
∴m=-1，m=1，m=4；
（3）∵點P在拋物線上，
∴點D的橫坐標為m，D作直線PQ∥y軸，
∴P（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），
∵-2≤m≤0，Q（m，2），
∴PQ=n=|-$\frac{1}{2}$m²+m+4-2|=|-$\frac{1}{2}$m²+m+2|．
當y=2時，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=2，
∴x=1-$\sqrt{5}$，或x=1+$\sqrt{5}$（舍），
∴當-2≤m≤1-$\sqrt{5}$時，n=$\frac{1}{2}$m²-m-2，
當1-$\sqrt{5}$＜m≤0時，n=-$\frac{1}{2}$m²+m+2，
（4）∵QD=2，
∴QE=DM=2，
由（3）知，當y=2時，x=1-$\sqrt{5}$或x=1+$\sqrt{5}$，
∵正方形QDMN的邊與拋物線恰好有兩個交點時，且點D在線段AC上，點A（4，0），C（-2，0）
∴-2＜m＜1-$\sqrt{5}$或1+$\sqrt{5}$＜m＜4．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了的待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類討論計算m的值，難點是正方形和拋物線有兩個交點的m的范圍的確定．