精英家教網(wǎng)如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB+AD=12，對角線AC是⊙O的直徑，AE⊥BD，垂足為E，AE=3．設(shè)⊙O的半徑為y，AB的長為x．
（1）求y與x函數(shù)關(guān)系式；
（2）當AB的長等于多少時，⊙O的面積最大，并求出⊙O的最大面積．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理，可知∠ABE=∠ACD，而等角的三角函數(shù)值相等，于是可得關(guān)于x、y的比例關(guān)系式，整理可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求當x等于多少時，y的最大值，從而求出半徑，再利用圓的面積公式可求⊙O的面積．
解答：解：（1）∵∠ABE=∠ACD，
∴sin∠ABE=sin∠ACD，
∴
12-x
2y
=
3
x
，
∴y=-
1
6
x2+2x．

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，
當x=-
b
2a
=
-2
2×(-
1
6
)
=6時，
y有最大值，且最大值=
4ac-b2
4a
=
4×(-
1
6
)×0-22
4×(-
1
6
)
=6，
即當x=6時，半徑y(tǒng)有最大值是6，
∴S⊙O=πy2=36π．
點評：本題主要考查了圓周角定理、三角函數(shù)值、二次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度較大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

28、操作與探究：
（1）圖①是一塊直角三角形紙片．將該三角形紙片按如圖方法折疊，是點A與點C重合，DE為折痕．試證明△CBE等腰三角形；
（2）再將圖①中的△CBE沿對稱軸EF折疊（如圖②）．通過折疊，原三角形恰好折成兩個重合的矩形，其中一個是內(nèi)接矩形，另一個是拼合（指無縫無重疊）所成的矩形，我們稱這樣的兩個矩形為“組合矩形”．你能將圖③中的△ABC折疊成一個組合矩形嗎？如果能折成，請在圖③中畫出折痕；
（3）請你在圖④的方格紙中畫出一個斜三角形，同時滿足下列條件：①折成的組合矩形為正方形；②頂點都在格點（各小正方形的頂點）上；
（4）有一些特殊的四邊形，如菱形，通過折疊也能折成組合矩形（其中的內(nèi)接矩形的四個頂點分別在原四邊形的四條邊上）．請你進一步探究，一個非特殊的四邊形（指除平行四邊形、梯形外的四邊形）滿足何條件時，一定能折成組合矩形？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四個頂點都在正方形邊上的四邊形叫做正方形的內(nèi)接四邊形，如圖1，正方形EFGH就是正方形ABCD的內(nèi)接正方形，已知正方形ABCD的邊長為a．
（1）請在圖1中畫出面積最小的正方形ABCD的內(nèi)接正方形E1F1G1H1（要求用文字標明取點方法）；
（2）如圖2，四邊形E2F2G2H2是正方形ABCD的內(nèi)接平行四邊形，AE2=x，AH2=y，請?zhí)接?BR>①當x、y滿足什么條件時，四邊形E2F2G2H2是矩形；（要求寫出過程）
②用x的代數(shù)式表示矩形E2F2G2H2的面積S，并寫出S的取值范圍．（直接寫出結(jié)果）精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)四個頂點都在正方形邊上的四邊形叫做正方形的內(nèi)接四邊形．如圖，四邊形EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接平行四邊形，且已知正方形ABCD的邊長為4．
（1）若點E、F、G、H是正方形ABCD四邊中點，試求四邊形EFGH的面積；
（2）設(shè)AE=x，AH=y，請?zhí)接懏攛、y滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形．（要求寫出過程）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

小明手上一張扇形紙片OAB．現(xiàn)要求在紙片上截一個正方形，使它的面積盡可能大．
小明的方案是：如圖，在扇形紙片OAB內(nèi)，畫正方形CDEF，使C、D在OA上，F(xiàn)在OB上；連接OE并延長交弧AB于I，畫IH∥ED交OA于H，IJ∥OA交OB于J，再畫JG∥FC交OA于G．
（1）你認為小明畫出的四邊形GHIJ是正方形嗎？如果是，請證明．如果不是，請說明理由．
（2）如果扇形OAB的圓心角∠AOB=30°，OA=6cm，小明截得的四邊形GHIJ面積是多少（結(jié)果精確到0.1cm）．
（3）（1）中小明畫出的四邊形GHIJ如果是正方形，我們把它叫做扇形的內(nèi)接正方形（四個頂點分別在扇形的半徑和弧上）．請你再畫出一種不同于圖（1）的扇形的內(nèi)接正方形（保留畫圖痕跡，不要求證明）
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

我們定義：“四個頂點都在三角形邊上的正方形是三角形的內(nèi)接正方形”．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．
（1）如圖1，四邊形CDEF是△ABC的內(nèi)接正方形，則正方形CDEF的邊長a1是
2
2
；
（2）如圖2，四邊形DGHI是（1）中△EDA的內(nèi)接正方形，則第2個正方形DGHI的邊長a2=
4
3
4
3
；繼續(xù)在圖2中的△HGA中按上述方法作第3個內(nèi)接正方形；…以此類推，則第n個內(nèi)接正方形的邊長an=
2n
3n-1
2n
3n-1
．（n為正整數(shù)）

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