我們定義：“四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊上的正方形是三角形的內(nèi)接正方形”．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．
（1）如圖1，四邊形CDEF是△ABC的內(nèi)接正方形，則正方形CDEF的邊長(zhǎng)a1是
2
2
；
（2）如圖2，四邊形DGHI是（1）中△EDA的內(nèi)接正方形，則第2個(gè)正方形DGHI的邊長(zhǎng)a2=
4
3
4
3
；繼續(xù)在圖2中的△HGA中按上述方法作第3個(gè)內(nèi)接正方形；…以此類推，則第n個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)an=
2n
3n-1
2n
3n-1
．（n為正整數(shù)）
分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出△BFE∽△BCA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以把正方形CDEF的邊長(zhǎng)表示出來，從而得出結(jié)論．
（2）由正方形的性質(zhì)可以得出△EIH∽△EDA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以把正方形IDGF的邊長(zhǎng)表示出來，從而得出結(jié)論，通過計(jì)算得出的結(jié)論尋找其中的變化規(guī)律就可以得出第n個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)的值．
解答：解：（1）四邊形CDEF是正方形，
∴EF=FC，EF∥FC，
∴△BFE∽△BCA，
∴
BF
BC
=
EF
AC
．設(shè)EF=FC=a，
∴
3-a
3
=
a
6
，
∴a=2，
故答案是：2
（2）如圖（2）四邊形DGHI是正方形，
∴IH=ID，IH∥AD，
∴△EIH∽△EDA，
∴
IE
DE
=
IH
AD
，設(shè)IH=ID=b，AD=4，DE=2，
∴
2-b
2
=
b
4
，
∴b=
4
3
，
故答案是：
4
3
，
如圖（3）由以上同樣的方法可以求得正方形PGQS的邊長(zhǎng)為：
8
9
=
23
32
，
∴第4的個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：
16
27
=
24
33
…
∴第n個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)an=
2n
3n-1

故答案為：
2n
3n-1
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用及規(guī)律的探索．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：在平面內(nèi)，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．
如以正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中某一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出8個(gè)不同的向量：
AB
、
BA
、
AC
、
CA
、
AD
、
DA
、
BD
、
DB
（由于
AB
和
DC
是相等向量，因此只算一個(gè)）．
（1）作兩個(gè)相鄰的正方形（如圖一）．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（2），試求f（2）的值；
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（2）作n個(gè)相鄰的正方形（如圖二）“一字型”排開．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（n），試求f（n）的值；
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（3）作2×3個(gè)相鄰的正方形（如圖三）排開．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（2×3），試求f（2×3）的值；
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（4）作m×n個(gè)相鄰的正方形（如圖四）排開．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（m×n），試求f（m×n）的值．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：在平面內(nèi)，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．
如以正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中某一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出8個(gè)不同的向量：
AB
、
BA
、
AC
、
CA
、
AD
、
DA
、
BD
、
DB
（由于
AB
和
DC
是相等向量，因此只算一個(gè)）．
（1）作兩個(gè)相鄰的正方形（如圖1）．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（2），試直接寫出f（2）的值；
（2）作n個(gè)相鄰的正方形（如圖2）“一字型”排開．以其中的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個(gè)數(shù)記為f（n），試直接寫出f（n）的值．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

探究問題：
（1）閱讀理解：
①如圖（A），在已知△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離；
②如圖（B），若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此為托勒密定理；
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（2）知識(shí)遷移：
①請(qǐng)你利用托勒密定理，解決如下問題：
如圖（C），已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的
BC
上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA；
②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：
第一步：如圖（D），在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在
BC
上任取一點(diǎn)P′，連接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+
 
；
第三步：請(qǐng)你根據(jù)（1）①中定義，在圖（D）中找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，并請(qǐng)指出線段
 
的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．
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（3）知識(shí)應(yīng)用：
2010年4月，我國(guó)西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．
已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，求輸水管總長(zhǎng)度的最小值．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某課題學(xué)習(xí)小組在一次活動(dòng)中對(duì)三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問題進(jìn)行了探討：
定義：如果一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)三角形的邊上，那么我們就把這個(gè)正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形．
結(jié)論：在探討過程中，有三位同學(xué)得出如下結(jié)果：
甲同學(xué)：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在
1
1
個(gè)、
2
2
個(gè)、
3
3
個(gè)大小不同的內(nèi)接正方形．
乙同學(xué)：在直角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大．
任務(wù)：（1）填充甲同學(xué)結(jié)論中的數(shù)據(jù)；
（2）乙同學(xué)的結(jié)果正確嗎？若不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例并通過計(jì)算給予說明，若正確，請(qǐng)給出證明．

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