Question

17．如圖，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD為較短的直角邊向△CDB的同側(cè)作Rt△DEC，滿足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同樣的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，繼續(xù)用同樣的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的長．

Answer 1

分析 本題介紹兩種方法：
①在Rt△ACD中，利用30度角的性質(zhì)和勾股定理求CD的長；同理在Rt△ECD中求FC的長，在Rt△FCG中求CH的長；最后在Rt△HCI中，利用30度角的性質(zhì)和勾股定理求CI的長．
②在Rt△DCA中，利用30°角的余弦求CD，同理依次求CF、CH、CP，最后利用正弦求CI的長．

解答 解：解法一：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=30°，
在Rt△ACD中，AC=a，
∴AD=$\frac{1}{2}$a，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
同理得：FC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{3a}{4}$，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3a}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}a}{8}$，
在Rt△HCI中，∠I=30°，
∴HI=2HC=$\frac{3\sqrt{3}a}{4}$，
由勾股定理得：CI=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}a}{4}）^{2}-（\frac{3\sqrt{3}a}{8}）^{2}}$=$\frac{9a}{8}$，
解法二：∠DCA=∠B=30°，
在Rt△DCA中，cos30°=$\frac{CD}{AC}$，
∴CD=AC•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△CDF中，cos30°=$\frac{CF}{CD}$，
CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{3}{4}$a，
同理得：CH=cos30°CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{4}$a=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$a，
在Rt△HCI中，∠HIC=30°，
tan30°=$\frac{CH}{CI}$，
CI=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$a÷$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{9}{8}$a；
答：CI的長為$\frac{9a}{8}$．

點評 本題考查了勾股定理和直角三角形含30°角的性質(zhì)，在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，這一性質(zhì)經(jīng)常運用，必須熟練掌握；同時在運用勾股定理和直角三角形含30°角的性質(zhì)時，一定要書寫好所在的直角三角形，尤其是此題多次運用了這一性質(zhì)，此題也可以利用三角函數(shù)解決．