Question

12．在求1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶+3⁷+3⁸的值時(shí)，張紅發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的3倍，于是她假設(shè)：S=1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶+3⁷+3⁸①，
然后在①式的兩邊都乘以3，得：3S=3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶+3⁷+3⁸+3⁹②，
②-①得，3S-S=3⁹-1，即2S=3⁹-1，
所以S=$\frac{{3}^{9}-1}{2}$．
得出答案后，愛動(dòng)腦筋的張紅想：如果把“3”換成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶的值？如能求出，其正確答案是$\frac{{m}^{2017}-1}{m-1}$（m≠0且m≠1）．

Answer 1

分析 仿照例子，將3換成m，設(shè)S=1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶（m≠0且m≠1），則有mS=m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁷，二者做差后兩邊同時(shí)除以m-1，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)S=1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶（m≠0且m≠1）①，
將①×m得：mS=m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁷②，
由②-①得：mS-S=m²⁰¹⁷-1，即S=$\frac{{m}^{2017}-1}{m-1}$，
∴1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶=$\frac{{m}^{2017}-1}{m-1}$（m≠0且m≠1）．
故答案為：$\frac{{m}^{2017}-1}{m-1}$（m≠0且m≠1）．

點(diǎn)評 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是仿照例子計(jì)算1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，本題其實(shí)是等比數(shù)列的求和公式，但初中未接觸過該方面的知識(shí)，需要借助于錯(cuò)位相減法來求出結(jié)論，此題中尤其要注意m的取值范圍．