【題目】在直角坐標系中,過原點O及點A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、連結OB,點DOB的中點,點E是線段AB上的動點,連結DE,作DFDE,交OA于點F,連結EF.已知點EA點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動,設移動時間為t秒.

(1)如圖1,當t=3時,求DF的長.

(2)如圖2,當點E在線段AB上移動的過程中,DEF的大小是否發(fā)生變化?如果變化,請說明理由;如果不變,請求出tan∠DEF的值.

(3)連結AD,當ADDEF分成的兩部分的面積之比為1:2時,求相應的t的值.

【答案】(1)3;(2)∠DEF的大小不變,tan∠DEF=;(3)

【解析】試題(1)當t=3時,點EAB的中點,由三角形的中位線定理得出DE∥EA,DE=OA=4,再由矩形的性質(zhì)證出DE⊥AB,得出∠OAB=∠DEA=90°,證出四邊形DFAE是矩形,得出DF=AE=3即可;

2)作DM⊥OA于點M,DN⊥ABN,證明四邊形DMAN是矩形,得出∠MDN=90°,DM∥ABDN∥OA,由平行線得出比例式,,由三角形中位線定理得出DM=AB=3,DN=OA=4,證明ΔDMF∽ΔDNE,得出,再由三角函數(shù)的定義即可得解;

3)作DM⊥OAM,DN⊥ABN,若ADΔDEF的面積分為1:2的兩部分,設ADEF于點G,則點GEF的三等分點.

當點E到達中點之前時,NE=3-t,由ΔDMF∽ΔDNE得:MF,求出AF=4+MF=,得出G,),求出直線AD的解析式為y=-+6,把G)代入即可求出t的值;

當點超過中點之后,NEt-3,由由ΔDMF∽ΔDNE得:MF,求出AF=4-MF=,得出G),代入直線AD的解析式y=-+6即可求出t的值;

試題解析: (1)當t=3時,點EAB的中點,

∵A8,0),C0,6),

∴OA=8,OC=6,

DOB的中點,

∴DE∥OADE=OA=4,

四邊形OABC是矩形,

∴OA⊥AB,

∴DE⊥AB

∴∠OAB=∠DEA=90°,

∵DF⊥DE,

∴∠EDF=90°,

四邊形DFAE是矩形,

∴DF=AE=3

2∠DEF的大小不變;理由如下:

DM⊥OAM,DN⊥ABN,如圖2所示:

四邊形OABC是矩形,

∴OA⊥AB,

四邊形DMAN是矩形,

∴∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,

,,

DOB的中點,

∴MN分別是OA、AB的中點,

∴DM=AB=3,DN=OA=4,

∵∠EDF=90°,

∴∠FDM=∠EDN

∵∠DMF=∠DNE=90°,

∴△DMF∽△DNE,

,

∵∠EDF=90°,

∴tan∠DEF=;

3)作DM⊥OAM,DN⊥ABN

AD△DEF的面積分成12的兩部分,

ADEF于點G,則點GEF的三等分點;

當點E到達中點之前時,如圖3所示,NE=3﹣t,

△DMF∽△DNE得:MF=3﹣t),

∴AF=4+MF=﹣t+

GEF的三等分點,

∴G,),

設直線AD的解析式為y=kx+b,

A80),D4,3)代入得:,

解得:,

直線AD的解析式為y=﹣x+6,

G,)代入得:t=;

當點E越過中點之后,如圖4所示,NE=t﹣3

△DMF∽△DNE得:MF=t﹣3),

∴AF=4﹣MF=﹣t+,

GEF的三等分點,

∴G,),

代入直線AD的解析式y=﹣x+6得:t=;

綜上所述,當AD△DEF分成的兩部分的面積之比為12時,t的值為.

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