Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=1，線段AD是BC邊上的中線，將△ADC沿直線BC平移，使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，得到△FCE，顯然四邊形ADEF是等腰梯形，再將△FCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤90°）．
（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠ACE=150°時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（2）請(qǐng)?zhí)骄吭谛�轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形ADEF是否依然是等腰梯形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì),等腰梯形的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）分兩種情況：①點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)；②點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC的同側(cè)分別得出即可；
（2）四邊形ADEF依然是等腰梯形，首先得出四邊形ADCF是平行四邊形，推出AF∥DC，即AF∥DE，求出∠ACD=60°，AD=DC，得出△ADC是等邊三角形，推出△FCE是等邊三角形，得出AD=FE即可；

解答：解：（1）在圖①中，∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)時(shí)，如圖②，
∵∠ACE=150°，
∴α=150°-120°=30°；
②當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC的同側(cè)時(shí)，如備用圖，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°，
∴α=180°-∠DCE=90°．
∴旋轉(zhuǎn)角α為30°或90°；
（2）四邊形ADEF依然是等腰梯形，
理由如下：∵△ADC沿直線BC平移得到△FCE，
∴AD∥FC，且AD=FC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AF∥DC，即AF∥DE，
∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACD=60°，
∵AD是BC邊上的中線，
∴AD=DC，
∴△ADC是等邊三角形，
∵△ADC≌△FCE，
∴△FCE是等邊三角形，
∴AD=FE，
∵AF≠DE，
∴四邊形ADEF是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等腰梯形的判定，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的性質(zhì)和判定等，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，但有一定的難度．