【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作發(fā)現(xiàn) 如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點C旋轉,當點D恰好落在AB邊上時,填空:
② 線段DE與AC的位置關系是;
②設△BDC的面積為S1 , △AEC的面積為S2 , 則S1與S2的數(shù)量關系是 .
(2)猜想論證 當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想.
(3)拓展探究 已知∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,BD=CD=4,DE∥AB交BC于點E(如圖4).若在射線BA上存在點F,使S△DCF=S△BDE , 請直接寫出相應的BF的長.
【答案】
(1)DE∥AC;S1=S2
(2)解:如圖,∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,
,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S1=S2;
(3)解:如圖,過點D作DF1∥BE,易求四邊形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此時S△DCF1=S△BDE;
過點D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°,F(xiàn)1D∥BE,
∴∠F2F1D=∠ABC=60°,
∵BF1=DF1,∠F1BD= ∠ABC=30°,∠F2DB=90°,
∴∠F1DF2=∠ABC=60°,
∴△DF1F2是等邊三角形,
∴DF1=DF2,
∵BD=CD,∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,
∴∠DBC=∠DCB= ×60°=30°,
∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°,
∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△CDF2中,
,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
∴點F2也是所求的點,
∵∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD= ×60°=30°,
又∵BD=4,
∴BE= ×4÷cos30°=2÷ = ,
∴BF1= ,BF2=BF1+F1F2= + = ,
故BF的長為 或 .
【解析】解:(1)①∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上, ∴AC=CD,
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,
∴△ACD是等邊三角形,
∴∠ACD=60°,
又∵∠CDE=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
②∵∠B=30°,∠C=90°,
∴CD=AC= AB,
∴BD=AD=AC,
根據(jù)等邊三角形的性質,△ACD的邊AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S1=S2;
所以答案是:DE∥AC;S1=S2;
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【題目】如圖已知∠1=∠2,∠BAD=∠BCD,則下列結論:①AB∥CD,②AD∥BC,③∠B=∠D,④∠D=∠ACB,正確的有( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】某市為了鼓勵居民節(jié)約用電,采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的電費,分兩檔收費:第一檔是當月用電量不超過240度時實行“基礎電價”;第二檔是當用電量超過240度時,其中的240度仍按照“基礎電價”計費,超過的部分按照“提高電價”收費.設每個家庭月用電量為x 度時,應交電費為y 元.具體收費情況如折線圖所示,請根據(jù)圖象回答下列問題:
(1)“基礎電價”是____________元 度;
(2)求出當x>240 時,y與x的函數(shù)表達式;
(3)若紫豪家六月份繳納電費132元,求紫豪家這個月用電量為多少度?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點點P第1次向上跳動1個單位至點,緊接著第2次向左跳動2個單位至點,第3次向上跳動1個單位至點,第4次向右跳動3個單位至點,第5次又向上跳動1個單位至點,第6次向左跳動4個單位至點,照此規(guī)律,點P第100次跳動至點的坐標是
A. B. C. D.
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【題目】如圖,矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上,點B的坐標為(2,3).雙曲線y= (x>0)的圖象經(jīng)過BC的中點D,且與AB交于點E,連接DE.
(1)求k的值及點E的坐標;
(2)若點F是OC邊上一點,且△FBC∽△DEB,求直線FB的解析式.
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【題目】已知:線段AB=40cm.
(1)如圖①,點P沿線段AB自點A向點B以3厘米/秒運動,同時點Q線段BA自B點向點A以5厘米/秒運動,問經(jīng)過幾秒后P、Q相遇?
(2)幾秒鐘后,P、Q相距16厘米?
(3)如圖②,AO=PO=8厘米,∠POB=40°,點P繞點O以20度/秒的速度順時針旋轉一周停止,同時點Q沿直線BA自B點向點A運動,假若P、Q兩點能相遇,求Q運動的速度.
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【題目】如圖,在△BC中,AC=BC,點D、E分別是邊AB、AC的中點.延長DE到點F,使DE=EF,得四邊形ADCF.若使四邊形ADCF是正方形,則應在△ABC中再添加一個條件為_____.
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【題目】先化簡,再求值
(1)2x-{-3y+[3x-2(3x-y)]},其中x=-1,y=.
(2)5(3a2b-ab2-1)-(ab2+3a2b-5),其中a=,b=.
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【題目】某旅行社擬在暑假期間面向學生推出“林州紅旗渠一日游”活動,收費標準如下:
人數(shù)m | 0<m≤100 | 100<m≤200 | m>200 |
收費標準(元/人) | 90 | 85 | 75 |
甲、乙兩所學校計劃組織本校學生自愿參加此項活動.已知甲校報名參加的學生人數(shù)多于100人,乙校報名參加的學生人數(shù)少于100人.經(jīng)核算,若兩校分別組團共需花費20 800元,若兩校聯(lián)合組團只需花費18 000元.
(1)兩所學校報名參加旅游的學生人數(shù)之和超過200人嗎?為什么?
(2)兩所學校報名參加旅游的學生各有多少人?
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