Question

△ABC中，已知BC=6，點D是BC邊上的中點，AD=5，點P為線段AD上一點（與A、D不重合），過P作EF∥BC分別交AB，AC于點E、F，過E、F分別作EG∥AD，F(xiàn)H∥AD交BC邊于點G．
（1）求證：P是線段EF的中點；
（2）當(dāng)四邊形EGHF為菱形時，求EF的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可以判定EP=FP；
（2）四邊形EGHF為菱形，則EF=FH，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求得CH的長，即可求得GH的長．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD
∴

EP

BD

=

AP

AD

=

FP

CD

，
∵BD=CD，
∴EP=FP，∴P是線段EF的中點；
（2）∵四邊形EGHF為菱形，∴EF=FH=GH=EG，
∵EG∥AD，F(xiàn)H∥AD，
∴

CH

CD

=

FH

AD

，

CH

3

=

FH

5

，
∴FH=

5

3

CH，DH=

1

2

FH=

5

6

CH，
∴CD=

5

6

CH+CH=3，
CH=

18

11

，EF=

5

3

CH=

30

11

．

點評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)．