Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=kx+b經(jīng)過A（0，2），B（1，0）．
（1）求直線l的解析式；
（2）以B為直角頂點在l右側(cè)作等腰直角△ABC，在x軸上有一點P，使S_△ABP=S_△ABC，求P點坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，直線y=kx-3k與直線l交于點Q，若兩直線相交，所成的銳角不小于45°，求點Q的橫坐標(biāo)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）直接用待定系數(shù)法求出直線解析式，
（2）先求出AB，從而求出三角形ABC 的面積，進而得出三角形PAB的面積，設(shè)出點P的坐標(biāo)，用三角形PAB的面積建立方程求解即可；
（3）先判斷出直線恒通過（3，0），從而求出直線DE解析式，確定出點D坐標(biāo)，設(shè)出Q坐標(biāo)，由所成的銳角不小于45°建立不等式$\frac{4}{5}\sqrt{5}$≥$\sqrt{（n-\frac{7}{5}）^{2}+（-2n+3+\frac{4}{5}）^{2}}$，
解不等式即可．

解答 解：（1）∵直線l：y=kx+b經(jīng)過A（0，2），B（1，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線l：y=-2x+2；
（2）∵A（0，2），B（1，0）．
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵以B為直角頂點在l右側(cè)作等腰直角△ABC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$）²=$\frac{5}{2}$，
∵S_△ABP=S_△ABC，
∴S_△ABP=S_△ABC=$\frac{5}{2}$，
設(shè)點P（m，0），
∵B（1，0），
∴PB=|m-1|
∵A（2，0），
∴OA=2
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$PB×OA=$\frac{1}{2}$×|m-1|×2=|m-1|=$\frac{5}{2}$，
∴m=-$\frac{3}{2}$或m=$\frac{7}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，0），或（$\frac{7}{2}$，0）．
（3）如圖，
∵直線y=kx-3k=k（x-3），
∴此直線恒通過點E（3，0），
由（1）知，直線l：y=-2x+2①；
過點E作ED⊥AB，
∴直線ED解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$②，
聯(lián)立①②得出點D（$\frac{7}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
設(shè)Q（n，-2n+2），
∴DQ=$\sqrt{（n-\frac{7}{5}）^{2}+（-2n+3+\frac{4}{5}）^{2}}$，
DE=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$，
∵直線y=kx-3k與直線l交于點Q，若兩直線相交，所成的銳角不小于45°，
∴tan∠BQE=$\frac{DE}{DQ}$≥1，
∴DE≥DQ，
∴$\frac{4}{5}\sqrt{5}$≥$\sqrt{（n-\frac{7}{5}）^{2}+（-2n+3+\frac{4}{5}）^{2}}$，
∴$\frac{9-\sqrt{5}}{5}$≤n≤$\frac{9+\sqrt{5}}{5}$
∴點Q的橫坐標(biāo)滿足的條件為$\frac{9-\sqrt{5}}{5}$≤n≤$\frac{9+\sqrt{5}}{5}$．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，解不等式，解本題的關(guān)鍵是要所成的銳角不小于45°時，DE≥DQ，難點是判斷出直線y=kx-3k恒通過點E（3，0）．