【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過⊙T外一點P引它的兩條切線,切點分別為M,N,若,則稱P為⊙T的環(huán)繞點.
(1)當(dāng)⊙O半徑為1時,
①在中,⊙O的環(huán)繞點是___________;
②直線y=2x+b與x軸交于點A,y軸交于點B,若線段AB上存在⊙O的環(huán)繞點,求b的取值范圍;
(2)⊙T的半徑為1,圓心為(0,t),以為圓心,為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H,若在圖形H上存在⊙T的環(huán)繞點,直接寫出t的取值范圍.
【答案】(1)①.②b的取值范圍為或.(2)
【解析】
(1)①根據(jù)環(huán)繞點的定義及作圖找到即可判斷;
②當(dāng)點B在y軸正半軸上時,根據(jù)環(huán)繞點的定義考慮以下兩種特殊情況:線段AB與半徑為2的⊙O相切時,與當(dāng)點B經(jīng)過半徑為1的⊙O時,分別求出此時的OB的長,即可得到可得b的取值范圍,再由點B在y軸負(fù)半軸上時同理可得b的取值;
(3)根據(jù)題意作出圖形,求出OS與x軸正半軸的夾角為30°,得∠BOC=60°,圖形H為射線OB與射線OC圍成的一個扇形區(qū)域(不包括點O,半徑可無窮大),分當(dāng)t≥0與t<0時,根據(jù)環(huán)繞點的定義進行求解.
(1)①如圖,
∵P1在圓上,故不是環(huán)繞點,
P2引圓兩條切線的夾角為90°,滿足,故為⊙O的環(huán)繞點
P3(0,2),∵P3O=2OM,∠P3MO=90°,∴∠MOP3=30°,
同理:∠NOP3=30°,∴,故為⊙O的環(huán)繞點
故填:;
②半徑為1的⊙O的所有環(huán)繞點在以O為圓心,半徑分別為1和2的兩個圓之間(如下圖陰影部分所示,含大圓,不含小圓).
ⅰ)當(dāng)點B在y軸正半軸上時,如圖1,圖2所示.
考慮以下兩種特殊情況:線段AB與半徑為2的⊙O相切時,;
當(dāng)點B經(jīng)過半徑為1的⊙O時,OB=1.
因為線段AB上存在⊙O的環(huán)繞點,所以可得b的取值范圍為 ;
②當(dāng)點B在y軸負(fù)半軸上時,如圖3,圖4所示.
同理可得b的取值范圍為 .
綜上,b的取值范圍為或.
(3)點記為S,設(shè)OS與x軸正半軸的夾角為a
∵tana=
∴a=30°,
如圖,圓S與x軸相切,過O點作⊙S的切線OC,
∵OC、OB都是⊙S的切線
∴∠BOC=2∠SOB=60°,
當(dāng)m取遍所有整數(shù)時 ,就形成圖形H,
圖形H為射線OB與射線OC圍成的一個扇形區(qū)域(不包括點O,半徑可無窮大)
當(dāng)t≥0時,過T作OC的垂線,垂足為M,當(dāng)TM>2時,圖形H不存在環(huán)繞點,OT=2TM,故t≤4,
當(dāng)t<0時,圖形H上的點到T的距離都大于OT,當(dāng)OT≥2時,圖形H不存在⊙T環(huán)繞點,因此t>-2,
綜上:.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了加快“智慧校園”建設(shè),某市準(zhǔn)備為試點學(xué)校采購一批、兩種型號的一體機,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),今年每套型一體機的價格比每套型一體機的價格多0.6萬元,且用960萬元恰好能購買500套型一體機和200套型一體機.
(1)求今年每套型、型一體機的價格各是多少萬元
(2)該市明年計劃采購型、型一體機1100套,考慮物價因素,預(yù)計明年每套型一體機的價格比今年上漲25%,每套型一體機的價格不變,若購買型一體機的總費用不低于購買型一體機的總費用,那么該市明年至少需要投入多少萬元才能完成采購計劃?
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【題目】2018年非洲豬瘟疫情暴發(fā)后,今年豬肉價格不斷走高,引起了民眾與政府的高度關(guān)注,據(jù)統(tǒng)計:今年7月20日豬肉價格比今年年初上漲了60%,某市民今年7月20日在某超市購買1千克豬肉花了80元錢.
(1)問:今年年初豬肉的價格為每千克多少元?
(2)某超市將進貨價為每千克65元的豬肉,按7月20日價格出售,平均一天能銷售出100千克,經(jīng)調(diào)查表明:豬肉的售價每千克下降1元,其日銷售量就增加10千克,超市為了實現(xiàn)銷售豬內(nèi)每天有1560元的利潤,并且可能讓顧客得到實惠,豬肉的售價應(yīng)該下降多少元?
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,E、F是⊙O上的兩點,連結(jié)AE、CF、DF,滿足EA=CA.
(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑是3,tan∠CFD=,求AD的長.
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【題目】某同學(xué)所在年級的500名學(xué)生參加志愿者活動,現(xiàn)有以下5個志愿服務(wù)項目:A,紀(jì)念館志講解員.B.書香社區(qū)圖書整理C.學(xué)編中國結(jié)及義賣.D,家風(fēng)講解員E.校內(nèi)志愿服務(wù),要求:每位學(xué)生都從中選擇一個項目參加,為了了解同學(xué)們選擇這個5個項目的情況,該同學(xué)隨機對年級中的40名同學(xué)選擇的志愿服務(wù)項目進行了調(diào)查,過程如下:
收集數(shù)據(jù):設(shè)計調(diào)查問卷,收集到如下數(shù)據(jù)(志愿服務(wù)項目的編號,用字母代號表示)
B,E,B,A,E,C,C,C,B,B,
A,C,E,D,B,A,B,E,C,A,
D,D,B,B,C,C,A,E,B
C,B,D,C,A,C,C,A,C,E,
(1)整理、描述詩句:劃記、整理、描述樣本數(shù)據(jù),繪制統(tǒng)計圖如下,請補全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖
選擇各志愿服務(wù)項目的人數(shù)統(tǒng)計表
志愿服務(wù)項目 | 劃記 | 人數(shù) |
A.紀(jì)念館志愿講解員 | 正 | 8 |
B.書香社區(qū)圖書整理 | ||
C.學(xué)編中國結(jié)及義賣 | 正正 | 12 |
D.家風(fēng)講解員 | ||
E.校內(nèi)志愿服務(wù) | 正 一 | 6 |
合計 | 40 | 40 |
分析數(shù)據(jù)、推斷結(jié)論
(2)抽樣的40個樣本數(shù)據(jù)(志愿服務(wù)項目的編號)的眾數(shù)是 (填A﹣E的字母代號)
(3)請你任選A﹣E中的兩個志愿服務(wù)項目,根據(jù)該同學(xué)的樣本數(shù)據(jù)估計全年級大約有多少名同學(xué)選擇這兩個志愿服務(wù)項目.
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【題目】宣和中學(xué)圖書館今日購進甲、乙兩種圖書,每本甲種圖書的進價比每本乙種圖書的進價高20元,花780元購進甲種圖書的數(shù)量與花540元購進乙種圖書的數(shù)量相同.
(1)求甲、乙兩種圖書每本的進價分別是多少元;
(2)宣和中學(xué)購進甲、乙兩種圖書共70本,總購書費用不超過3950元,則最多購進甲種圖書多少本.
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【題目】已知一次函數(shù)和二次函數(shù)部分自變量和對應(yīng)的函數(shù)值如下表:
…… | …… | ||||||
…… | …… | ||||||
…… | …… |
(1)求的表達式;
(2)關(guān)于的不等式的解集是 .
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【題目】如圖,在中,∠C=90°,O是斜邊AB上一點,以O為圓心,OB為半徑的圓與AB交于點E,與BC交于點F,與AC相切于點D,連接DF、BD,且BD平分∠ODF.
(1)求證:四邊形是菱形;
(2)若,求陰影部分的面積(結(jié)果保留).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等邊三角形,點D在邊AB上.
(1)如圖1,當(dāng)點E在邊BC上時,求證DE=EB;
(2)如圖2,當(dāng)點E在△ABC內(nèi)部時,猜想ED和EB數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)如圖3,當(dāng)點E在△ABC外部時,EH⊥AB于點H,過點E作GE∥AB,交線段AC的延長線于點G,AG=5CG,BH=3.求CG的長.
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