Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)的定義如下：若P′為直線PC與⊙C的一個(gè)交點(diǎn)，滿足r≤PP′≤2r，則稱P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)，如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)P′的示意圖.

(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí).

①分別判斷點(diǎn)M(3，4)，N(，0)，T(1，)關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；

②點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0)，DE，DF分別切⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)F，點(diǎn)P在△DEF的邊上.若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)P′存在，求點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2)保持(1)中D，E，F三點(diǎn)不變，點(diǎn)P在△DEF的邊上沿E→F→D→E的方向運(yùn)動(dòng)，⊙C的圓心C的坐標(biāo)為(1，0)，半徑為r，請(qǐng)從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答.

問題1：若點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)P′存在，且P′隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長為πr，則r的最小值為__________.

問題2：若點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)P′不存在，則r的取值范圍為_________.

Answer 1

【答案】(1)①點(diǎn)M、點(diǎn)T關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)不存在，點(diǎn)N關(guān)于⊙0的限距點(diǎn)存在，坐標(biāo)為(1，0)；②﹣1≤x≤﹣或x＝1；(2)問題1：；問題2：0＜r＜.

【解析】

(1)①根據(jù)限距點(diǎn)的定義即可判斷.

②分三種情形：①當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段DE、DF(不包括端點(diǎn))上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，分別說明即可解決問題.

(2)問題1：如圖2中，△PP′C是等邊三角形，點(diǎn)P在PP′上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有限距點(diǎn)，列出不等式即可解決.

問題2：如圖2中，當(dāng)點(diǎn)H不存在限距點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P就不存在限距點(diǎn)，列出不等式即可解決.

解：(1)①如圖

M(3，4)，N(，0)，T(1，)

當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)即

，點(diǎn)M的限距點(diǎn)不存在；

，點(diǎn)T的限距點(diǎn)不存在；

，，點(diǎn)N的限距點(diǎn)存在即為

所以點(diǎn)M、點(diǎn)T關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)不存在，點(diǎn)N關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)存在，坐標(biāo)為(1，0).

②∵點(diǎn)D坐標(biāo)為(2，0)，⊙O半徑為1，DE、DF分別切⊙O于E、F，

由對(duì)稱可得F(，﹣)

∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，(，﹣)，

如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)E(，)，點(diǎn)F(，﹣)，EO、FO的延長線分別交⊙O于點(diǎn)E′、F′，則E′(﹣，﹣)，F′(﹣，).

設(shè)點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，

①當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，直線PO與⊙O的交點(diǎn)P′滿足1≤PP′≤2，故點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)存在，其橫坐標(biāo)x滿足﹣1≤x≤﹣.

②當(dāng)點(diǎn)P在線段DE、DF(不包括端點(diǎn))上時(shí)，直線PO與⊙O的交點(diǎn)P′滿足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)不存在.

③當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，直線PO與⊙O的交點(diǎn)P′(1，0)，滿足PP′＝1，故點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)存在，其橫坐標(biāo)x＝1.

綜上所述點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的范圍為﹣1≤x≤﹣或x＝1.

(2)問題1：如圖中，

∵△DEF是等邊三角形，點(diǎn)C是△DEF的外接圓的圓心，

∵若點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)P′存在，且P′隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長為πr，

∴圖中△PP′C是等邊三角形，點(diǎn)P在PP′上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有限距點(diǎn)，

∵PC∥ED，

∴＝＝，

∴PC＝，

由題意：r≤﹣r≤2r，

∴，

∴r的最小值為.

問題2：如圖中，當(dāng)點(diǎn)H不存在限距點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P就不存在限距點(diǎn)，

∵HC＝，

∴﹣r＞2r，

∴r＜，

∴0＜r＜時(shí)點(diǎn)P的限距點(diǎn)不存在.

故答案分別為，0＜r＜.