Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知A（0，1），B（

3

，0），以線段AB為邊向上作菱形ABCD，且點(diǎn)D在y軸上．若菱形ABCD以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線AB滑行，直至頂點(diǎn)D落在x軸上時(shí)停止．設(shè)菱形落在x軸下方部分的面積為S，則表示S與滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為

 

 （并寫出t的取值范圍）．

Answer 1

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象

專題：

分析：根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，再求出菱形的高，以及菱形沿y軸方向滑落的速度和x軸方向滑落的速度，再分①點(diǎn)A在x軸上方時(shí)，0≤t≤1，利用三角形的面積公式表示出s與t的函數(shù)關(guān)系式，②點(diǎn)A在x軸下方，點(diǎn)C在x軸上方時(shí)，1＜t≤2，利用梯形的面積公式表示出s與t的函數(shù)關(guān)系式，③點(diǎn)C在x軸下方時(shí)，2＜t≤3，利用菱形ABCD的面積減去x軸上方部分的三角形的面積，列式整理得到s與t的函數(shù)關(guān)系式，從而得解．

解答：解：∵A（0，1），B（

3

，0），
∴OA=1，OB=

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=

12+( 3 )2

=2，
∵tan∠BAO=

OB

OA

=

3

1

=

3

，
∴∠BAO=60°，
∴菱形ABCD的高為2×

3

2

=

3

，
∵菱形ABCD以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線AB滑行，
∴菱形沿y軸方向滑落的速度為1，
沿x軸方向滑落的速度為

3

．
①點(diǎn)A在x軸上方時(shí)，0≤t≤1，落在x軸下方部分是三角形，
面積S=

1

2

•2t•

3

t=

3

t²，
②點(diǎn)A在x軸下方，點(diǎn)C在x軸上方時(shí)，1＜t≤2，落在x軸下方部分是梯形，
面積S=

1

2

[t+（t-1）•1]×

3

=

3

t-

3

2

，
③點(diǎn)C在x軸下方時(shí)，2＜t≤3，x軸下方部分為菱形的面積減去x軸上方部分的三角形的面積，
S=2×

3

-

1

2

（6-2t）•

3

2

（6-2t）=2

3

-

3

（3-t）²，
綜上所述，S與滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為：S=

3 t2(0≤t≤1) 3 t- 3 2 (1＜t≤2) 2 3 - 3 (3-t)2(2＜t≤3)

．
故答案為S=

3 t2(0≤t≤1) 3 t- 3 2 (1＜t≤2) 2 3 - 3 (3-t)2(2＜t≤3)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，主要利用了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，分三段得到x軸下方部分的圖形并求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．