Question

2．已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）和（2，6）．
（1）求b和c的值．
（2）若點(diǎn)A（n，y₁），B（n+1，y₂），C（n+2，y₃）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，問(wèn)是否存在整數(shù)n，使$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{3}{10}$？若存在，請(qǐng)求出n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象在y軸左側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=-2x沿y軸向下平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，請(qǐng)求出所有符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）求出y₁，y₂，y₃代入解方程即可解決問(wèn)題，注意運(yùn)算技巧．
（3）當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，由圖象可知不存在點(diǎn)P，使得△PCD為直角三角形，當(dāng)C為直角頂點(diǎn)，CD為直角邊時(shí)，作PE⊥OC于E．分兩種情形①CD=2PC，②PC=2CD，
設(shè)直線y=-2x向下平移m個(gè)單位，則直線CD解析式為y=-2x-m，求出點(diǎn)P坐標(biāo)（用m表示），代入拋物線解析式即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）把（-1，0）和（2，6）代入y=x²+bx+c中，
得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{4+2b+c=6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴b=1，c=0．
（2）由題意y₁=n²+n，y₂=（n+1）²+（n+1），y₃=（n+2）²+（n+2），
∵$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{3}{10}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$+$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{3}{10}$，
∴$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{3}{10}$，
∴$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{3}{10}$，
整理得n²+3n-10=0，
解得n=2或-5．
經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)n=2和-5是分式方程的解．
（3）當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，由圖象可知不存在點(diǎn)P，使得△PCD為直角三角形，當(dāng)C為直角頂點(diǎn)，CD為直角邊時(shí)，作PE⊥OC于E．

設(shè)直線y=-2x向下平移m個(gè)單位，則直線CD解析式為y=-2x-m，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（0，-m），點(diǎn)C坐標(biāo)（-$\frac{m}{2}$，0），
∴OD=m，OC=$\frac{m}{2}$，
∴OD=20C，
∵△PCD與△OCD相似，
∴CD=2PC或PC=2CD，
①當(dāng)CD=2PC時(shí)，
∵∠PCD=90°，
∴∠PCE+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠PCE=∠CDO，
∵∠PEC=∠COD=90°，
∴△COD∽△PEC，
∴$\frac{CD}{PC}$=$\frac{OD}{EC}$=$\frac{CO}{PE}$=2，
∴EC=$\frac{m}{2}$，PE=$\frac{m}{4}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-m，-$\frac{m}{4}$），代入y=x²+x，
得-$\frac{m}{4}$=m²-m，解得m=$\frac{3}{4}$或（0舍棄）
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{16}$）．
②PC=2CD時(shí)，由$\frac{CD}{PC}$=$\frac{OD}{EC}$=$\frac{CO}{PE}$=$\frac{1}{2}$，
∴EC=2m，PE=m，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-$\frac{5}{2}$m，-m），代入y=x²+x，
得-m=$\frac{25}{4}$m²-$\frac{5}{2}$m，
解得m=$\frac{6}{25}$和（0舍棄），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{6}{25}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、分式方程、相似三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論，不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．