Question

14．若正方形有兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)在三角形的同一條邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另兩條邊上，則正方形稱為三角形該邊上的內(nèi)接正方形，△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，各邊上的高分別記為h_a，h_b，h_c，各邊上的內(nèi)接正方形的邊長分別記為x_a，x_b，x_c
（1）模擬探究：如圖，正方形EFGH為△ABC的BC邊上的內(nèi)接正方形，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{h}_{a}}$=$\frac{1}{{x}_{a}}$；
（2）特殊應(yīng)用：若∠BAC=90°，x_b=x_c=2，求$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$的值；
（3）拓展延伸：若△ABC為銳角三角形，b＜c，請(qǐng)判斷x_b與x_c的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)EH∥FG，判定△AEH∽△ABC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式變形即可得到$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{h}_{a}}$=$\frac{1}{{x}_{a}}$；
（2）先根據(jù)（1）中的結(jié)論得出$\frac{1}+\frac{1}{{h}_}=\frac{1}{{x}_}$，再將h_b=c和x_b=2代入變形，即可求得$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$的值；
（3）先根據(jù)（1）中的結(jié)論得出$\frac{1}+\frac{1}{{h}_}=\frac{1}{{x}_}$和$\frac{1}{c}+\frac{1}{{h}_{c}}=\frac{1}{{x}_{c}}$，變形得出${x}_=\frac{b{h}_}{b+{h}_}$，${x}_{c}=\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，再根據(jù)△ABC得到bh_b=ch_c，h_b=csinA，h_c=bsinA，最后代入代數(shù)式$\frac{1}{{x}_}-\frac{1}{{x}_{c}}$進(jìn)行變形推導(dǎo)，即可得出x_b與x_c的大小關(guān)系．

解答 解：∵正方形EFGH中，EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，即$\frac{{x}_{a}}{a}=\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{h}_{a}}$=$\frac{1}{{x}_{a}}$；

（2）由（1）得：$\frac{1}+\frac{1}{{h}_}=\frac{1}{{x}_}$，
∵∠A=90°，
∴h_b=c，
又∵x_b=2，
∴$\frac{1}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$；

（3）x_b＞x_c．
證明：由（1）得：$\frac{1}+\frac{1}{{h}_}=\frac{1}{{x}_}$，$\frac{1}{c}+\frac{1}{{h}_{c}}=\frac{1}{{x}_{c}}$，
∴${x}_=\frac{b{h}_}{b+{h}_}$，${x}_{c}=\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，
∵S=$\frac{1}{2}$bh_b=$\frac{1}{2}$ch_c，
∴2S=bh_b=ch_c，
又∵h(yuǎn)_b=csinA，h_c=bsinA，
∴$\frac{1}{{x}_}-\frac{1}{{x}_{c}}$=$\frac{b+{h}_-（c+{h}_{c}）}{2S}$
=$\frac{b+csinA-（c+bsinA）}{2S}$
=$\frac{（b-c）（1-sibA）}{2S}$，
∵b＜c，sinA＜1，
∴$\frac{（b-c）（1-sibA）}{2S}$＜0，即$\frac{1}{{x}_}-\frac{1}{{x}_{c}}$＜0，
∴x_b＞x_c．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的綜合運(yùn)用，難度較大，解決問題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．解題時(shí)注意，當(dāng)三角形的高出現(xiàn)時(shí)，可以考慮相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比；其中第（2）個(gè)問題也可以運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．此外，特殊應(yīng)用和拓展延伸部分的解答都運(yùn)用了模擬探究中的結(jié)論．