Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，點A的橫坐標為8，AB⊥x軸于點B，sin∠OAB=$\frac{4}{5}$，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象的一支經(jīng)過AO的中點C，交AB于點D．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）四邊形OCDB的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，求出OA的值，然后根據(jù)勾股定理求出AB的值，然后由C點是OA的中點，求出C點的坐標，然后將C的坐標代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$中，即可確定反比例函數(shù)解析式；
（2）作CE⊥x軸于點E，然后根據(jù)S_{四邊形OCDB}=S_△OCE+S_梯形CEBD即可求解．

解答 解：（1）∵A點的坐標為（8，y），
∴OB=8，
∵AB⊥x軸于點B，sin∠OAB=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴OA=10，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}$=6，
∵點C是OA的中點，且在第一象限內(nèi)，
∴C（4，3），
∵點C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=12，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=$\frac{12}{x}$；
（2）作CE⊥x軸于點E．則E的坐標是（4，0）．
OE=BE=4，CE=3．
在y=$\frac{12}{x}$中，令x=8，解得y=$\frac{3}{2}$，則BD=$\frac{3}{2}$．
則S_{四邊形OCDB}=S_△OCE+S_梯形CEBD=$\frac{1}{2}$OE•CE+$\frac{1}{2}$（CE+BD）•BE=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$（3+$\frac{3}{2}$）×4=6+9=15．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及圖形的面積的計算，在計算不規(guī)則的圖形的面積時常用的方法是轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的和或差計算．