Question

10．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別是射線BC和CD延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=DF，連接EF與射線BD交于點(diǎn)G，連接AG、CG．
（1）求證：EG=FG；
（2）當(dāng)△GCE為等邊三角形時(shí)，求四邊形AFDG的面積．

Answer 1

分析 （1）作EH⊥BC交BD于H，由正方形的性質(zhì)得出AB∥CF，∠BCD=90°，∠EBH=45°，AB⊥BC，證出△BEH是等腰直角三角形，得出BE=EH，證出EH=DF，由平行線的性質(zhì)得出∠HEG=∠DFG，由AAS證明△GHE≌△GFD，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）過(guò)G作CD的平行線，交AD于M，BC于N，由等邊三角形的性質(zhì)得出CN=EN，設(shè)CN=EN=x，則CG=CE=2x，GN=$\sqrt{3}$x，作GO⊥CD于O，則GM=GO=CN=x，MN=CD=4得出方程，解方程求出x=2$\sqrt{3}$-2，得出DF=BE=BC-CE=8-4$\sqrt{3}$，四邊形AFDG的面積=△ADF的面積+△ADG的面積，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：作EH⊥BC交BD于H，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CF，∠BCD=90°，∠EBH=45°，AB⊥BC，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴BE=EH，
∵BE=DF，
∴EH=DF，
∵EH⊥BC，AB∥CF，
∴EH∥CF，
∴∠HEG=∠DFG，
在△GEH和△GFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HEG=∠DFG}&{\;}\\{∠EGH=∠FGD}&{\;}\\{EH=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GHE≌△GFD（AAS），
∴EG=FG；
（2）解：過(guò)G作CD的平行線，交AD于M，BC于N，如圖2所示：
∵△GCE為等邊三角形，
∴CN=EN，
設(shè)CN=EN=x，則CG=CE=2x，GN=$\sqrt{3}$x，
作GO⊥CD于O，則GM=GO=CN=x，
∵M(jìn)N=CD=4，
∴x+$\sqrt{3}$x=3，
解得：x=2$\sqrt{3}$-2，
∵DF=BE=BC-CE=4-2x=4-2（2$\sqrt{3}$-2）=8-4$\sqrt{3}$，
∴四邊形AFDG的面積=△ADF的面積+△ADG的面積=$\frac{1}{2}$AD（DF+GM）=$\frac{1}{2}$×4（8-4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$-2）=12-4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．