【題目】如圖,拋物線與軸交于、兩點(在的左側(cè)),與軸交于點,過點的直線:與軸交于點,與拋物線的另一個交點為,己知,,點為拋物線上一動點(不與、重合).
(1)直接寫出拋物線和直線的解析式;
(2)當點在直線上方的拋物線上時,連接、,
①當的面積最大時,點的坐標是________;
②當平分時,求線段的長.
(3)設為直線上的點,探究是否存在點,使得以點、,、為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1),;(2)①,②;(3)存在,或或或.
【解析】
(1)將點A、D的坐標分別代入直線表達式、拋物線的表達式,即可求解;
(2)①先找出當的面積最大時,點的位置為與直線平行且與拋物線相切的點,設直線解析式為,即有唯一解,求出的值,再解方程求出x、y,即為P點的坐標;②過作軸于點,由先求出,根據(jù)平分線定義得,設點坐標為,依題意有,求出t的值,進而求得PA的長;
(3)分NC是平行四邊形的一條邊、NC是平行四邊形的對角線,兩種情況分別求解即可.
解:(1)將點、的坐標代入直線表達式得:,解得:,
故直線的表達式為:,
將點、的坐標代入拋物線表達式,
同理可得拋物線的表達式為:;
(2)①當的面積最大時,點到直線的距離就最大,
所以點在與直線平行并且與拋物線相切的直線上,即點是這兩個圖像的唯一交點.
設點坐標為,依題意有:
∴
∵直線與拋物線相切,即只有一個交點
∴ ∴
∴
∴ ∴
由此得點坐標為
②過作軸于點,
由直線的解析式,可得
∴
∵ ∴
∴當平分時,,則
∴是等腰直角三角形
∴
設點坐標為,依題意有
∴,(舍去)
∴
∴
(3),
①當是平行四邊形的一條邊時,
設點坐標為、則點,
由題意得:,即:,
解得:或0或4(舍去0),
則:或或-5
則點坐標為或或;
②當是平行四邊形的對角線時,
則的中點坐標為
設點坐標為、則點,
、,、為頂點的四邊形為平行四邊形,則的中點即為中點,
即:,,
解得:或4(舍去0),d=﹣4,-d-1=3
故點;
故點M的坐標為:或或或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某單位在疫情期間用3000元購進A、B兩種口罩1100個,購買A種口罩與購買B種口罩的費用相同,且A種口罩的單價是B種口罩單價的1.2倍;
(1)求A,B兩種口罩的單價各是多少元?
(2)若計劃用不超過7000元的資金再次購進A、B兩種口罩共2600個,已知A、B兩種口罩的進價不變,求A種口罩最多能購進多少個?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=﹣x+4與坐標軸交于A,B兩點,OC⊥AB于點C,P是線段OC上的一個動點,連接AP,將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到線段AP',連接CP',則線段CP'的最小值為( )
A.B.1C.D.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,以BC為直徑作⊙ O交AC于點E,過點E作AB的垂線交AB于點F,交CB的延長線于點G.
(1)求證:EG是⊙O的切線;
(2)若BG=OB,AC=6,求BF的長.
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【題目】如圖,已知中,,,是邊的中點,將繞點旋轉(zhuǎn)得到,平分交于點,交于點,連接.下列結(jié)論:①;②;③;④.其中正確的結(jié)論有______(只填寫序號).
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【題目】根據(jù)完全平方公式可以作如下推導(a、b都為非負數(shù))
∵ a-2+b=(-)2≥0 ∴ a-2+b≥0
∴ a+b≥2 ∴ ≥
其實,這個不等關系可以推廣,≥
… …
(以上an都是非負數(shù))
我們把這種關系稱為:算術—幾何均值不等式
例如:x為非負數(shù)時,,則有最小值.
再如:x為非負數(shù)時,x+x+.
我們來研究函數(shù):
(1)這個函數(shù)的自變量x的取值范圍是 ;
(2)完成表格并在坐標系中畫出這個函數(shù)的大致圖象;
x | … | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | … | ||
y | … | 3 | 5 | … |
(3)根據(jù)算術—幾何均值不等式,該函數(shù)在第一象限有最 值,是 ;
(4)某同學在研究這個函數(shù)時提出這樣一個結(jié)論:當x>a時,y隨x增大而增大,則a的取值范圍是 .
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【題目】近年來,共享單車逐漸成為高校學生喜愛的“綠色出行”方式之一,許多高校均投放了使用手機支付就可隨取隨用的共享單車.某高校為了解本校學生出行使用共享單車的情況,隨機調(diào)查了某天部分出行學生使用共享單車的情況,并整理成如下統(tǒng)計表.
使用次數(shù)(次) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人數(shù)(人) | 11 | 15 | 23 | 28 | 20 | 3 |
(1)這天部分出行學生使用共享單車次數(shù)的眾數(shù)是_________(次).
(2)求這天部分出行學生平均每人使用共享單車的次數(shù).
(3)若該校某天有1500名學生出行,請你估計這天使用共享單車次數(shù)在3次以上(含3次)的學生有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校七年級共有500名學生,為了解該年級學生的課外閱讀情況,將從中隨機抽取的40名學生一個學期的閱讀量(閱讀書籍的本數(shù))作為樣本,根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如下的表格和統(tǒng)計圖:
等級 | 閱讀量(本) | 頻數(shù) | 頻率 |
E | x≤2 | 4 | 0.1 |
D | 2<x≤4 | 12 | 0.3 |
C | 4<x≤6 | a | 0.35 |
B | 6<x≤8 | c | b |
A | x>8 | 4 | 0.1 |
根據(jù)上面提供的信息,回答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中的 , ;并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請估計該校七年級學生一學期的閱讀量為“等”的有多少人?
(3)樣本中閱讀量為“等”的4名學生中有2名男生和2名女生,現(xiàn)從中隨機挑選2名同學參加區(qū)里舉行的“語文學科素養(yǎng)展示”活動,請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中“1男1女”的概率.
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【題目】如圖,在平行四邊形中,,,點是的中點,連接,過作于,交于點,點是的中點,連接,過點作的垂線交的延長線于.
(1)若,的長;
(2)求證:.
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