Question

14．如圖，把一個菱形繞著它的對角線的交點旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)前后的兩個菱形構(gòu)成一個“星形”（陰影部分），若菱形的一個內(nèi)角為60°，邊長為2，則該“星形”的面積是6$\sqrt{3}$-6．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的性質(zhì)以及AB=2，∠BAD=60°，可得出線段AO和BO的長度，同理找出A′O、D′O的長度，結(jié)合線段間的關(guān)系可得出AD′的長度，通過角的計算得出∠AED′=30°=∠EAD′，即找出D′E=AD′，再通過解直角三角形得出線段EF的長度，利用分割圖形法結(jié)合三角形的面積公式以及菱形的面積公式即可求出陰影部分的面積．

解答 解：在圖中標(biāo)上字母，令A(yù)B與A′D′的交點為點E，過E作EF⊥AC于點F，如圖所示．

∵四邊形ABCD為菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，
∴AO=AB•cos∠BAO=$\sqrt{3}$，BO=AB•sin∠BAO=1．
同理可知：A′O=$\sqrt{3}$，D′O=1，
∴AD′=AO-D′O=$\sqrt{3}$-1．
∵∠A′D′O=90°-30°=60°，∠BAO=30°，
∴∠AED′=30°=∠EAD′，
∴D′E=AD′=$\sqrt{3}$-1．
在Rt△ED′F中，ED′=$\sqrt{3}$-1，∠ED′F=60°，
∴EF=ED′•sin∠ED′F=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
∴S_陰影=S_菱形ABCD+4S_△AD′E=$\frac{1}{2}$×2AO×2BO+4×$\frac{1}{2}$AD′•EF=6$\sqrt{3}$-6．
故答案為：6$\sqrt{3}$-6．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的面積公式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是求出△AD′E的面積．本題屬于中檔題，難度不小，歷年來時常會考到周長，今年碰到了求面積，解決該題的技巧是分割圖形，將陰影部分分割成菱形與四個全等的三角形，求出其中任意一個三角形的面積是解決本題的關(guān)鍵．