Question

【題目】求解體驗(yàn)：

（1）已知拋物線 y＝﹣x2+bx﹣3 經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），則 b＝ ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，該拋物線關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對稱的拋物線表達(dá)式是 ．

抽象感悟：

我們定義：對于拋物線 y＝ax2+bx+c（a≠0），以 y 軸上的點(diǎn) M（0，m）為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn) M 對稱的 拋物線 y′，則我們又稱拋物線 y′為拋物線 y 的“衍生拋物線”，點(diǎn) M 為“衍生中心”．

（2）已知拋物線 y＝﹣x2﹣2x+5 關(guān)于點(diǎn)（0，m）的衍生拋物線為 y′，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求 m 的取值范 圍．

問題解決：

（3）已知拋物線 y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）

①若拋物線 y 的衍生拋物線為 y′＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求 a、b 的值及衍生中心的坐標(biāo)；

②若拋物線 y 關(guān)于點(diǎn)（0，k+12）的衍生拋物線為 y1，其頂點(diǎn)為 A1；關(guān)于點(diǎn)（0，k+22）的衍生拋物線為 y2，其頂點(diǎn)為 A2；…；關(guān)于點(diǎn)（0，k+n2）的衍生拋物線為 yn，其頂點(diǎn)為 An…（n 為正整數(shù)）．求 An An+1 的長（用含 n 的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）b=-4，（－2，1），；（2）m≤5；（3）4n+2

【解析】

求解體驗(yàn)：（1）利用待定系數(shù)法求出b的值，進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在拋物線上取一點(diǎn)（0，-3），求出點(diǎn)（-2，1）和（0，-3）關(guān)于（0，1）的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
抽象感悟：（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，6），進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出衍生函數(shù)解析式，聯(lián)立即可得出結(jié)論；
問題解決：（3）①求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和衍生拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入拋物線解析式中，即可求出a，b的值，即可得出結(jié)論；
②求出拋物線頂點(diǎn)關(guān)于（0，k+n2）和（0，k+（n+1）2）的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解：求解體驗(yàn)：（1）∵拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），
∴-1-b-3=0，
∴b=-4，
∴拋物線解析式為y=-x2-4x-3=-（x+2）2+1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2，1）關(guān)于（0，1）的對稱點(diǎn)為（2，1），
即：新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
令原拋物線的x=0，
∴y=-3，
∴（0，-3）關(guān)于點(diǎn)（0，1）的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），
設(shè)新拋物線的解析式為y=a（x-2）2+1，
∵點(diǎn)（0，5）在新拋物線上，
∴5=a（0-2）2+1，
∴a=1，
∴新拋物線解析式為y=（x-2）2+1=x2-4x+5，
故答案為-4，（-2，1），y=x2-4x+5；

抽象感悟：（2）∵拋物線y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6①，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，6），
設(shè)衍生拋物線為y′=a（x-1）2+2m-6，
∵拋物線y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)（0，m）的衍生拋物線為y′，
∴a=1，
∴衍生拋物線為y′=（x-1）2+2m-6=x2-2x+2m-5②，
聯(lián)立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，
整理得，2x2=10-2m，
∵這兩條拋物線有交點(diǎn)，
∴10-2m≥0，
∴m≤5；
問題解決：
（3）①拋物線y=ax2+2ax-b=a（x+1）2-a-b，
∴此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-a-b），
∵拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2=b（x-1）2+a2-b，
∴a+b=0，③
∵兩個(gè)拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，
∴b+2b+a2=-a-b④，
聯(lián)立③④，∴a=0（舍）或a=3，
∴b=-3，
∴拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），拋物線y的衍生拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，12），
∴衍生中心的坐標(biāo)為（0，6）；
②拋物線y=ax2+2ax-b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-a-b），
∵點(diǎn)（-1，-a-b）關(guān)于點(diǎn)（0，k+n2）的對稱點(diǎn)為（1，a+b+2k+2n2），
∴拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)An為（1，a+b+2k+2n2），
同理：An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2）
∴AnAn+1=a+b+2k+2（n+1）2-（a+b+2k+2n2）=4n+2．