Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C在x軸上，點(diǎn)D、E在y 軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，2OB=OD，直線AD與經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn)，與其對(duì)稱軸交于M．點(diǎn)P為線段FG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與F、G不重合），PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q．
（1）求經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可以求出點(diǎn)B、E、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）易知△AOD是等腰Rt△，若以P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，那么△PQM也必須是等腰Rt△；由于∠QPM≠90°，因此本題分兩種情況：
①PQ為斜邊，M為直角頂點(diǎn)；②PM為斜邊，Q為直角頂點(diǎn)；
首先求出直線AD的解析式，進(jìn)而可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線AD的解析式表示出P、Q的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長(zhǎng)；在①中，PQ的長(zhǎng)為M、P橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值的2倍；在②中，PQ的長(zhǎng)正好等于M、P橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，由此可求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；
解答：解：（1）∵OA=OD=2，OC=OE=4，2OB=OD，
∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4），D（0，2），
設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x-4），
∴a×1×（-4）=4，解得a=-1，
∴經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4

（2）∵A（-2，0），D（0，2）；
所以直線AD：y=x+2；
聯(lián)立，
解得F（1-，3-），G（1+，3+）；
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2）（1-＜x＜1+），則Q（x，-x²+3x+4）；
∴PQ=-x²+3x+4-x-2=-x²+2x+2；
由條件容易求得M（，），
若以P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，則△PQM為等腰直角三角形；
①以M為直角頂點(diǎn)，PQ為斜邊；PQ=2|x_M-x_P|，
即：-x²+2x+2=2（-x），
解得x=2-，x=2+（不合題意舍去）
∴P（2-，4-）；
②以Q為直角頂點(diǎn)，PM為斜邊；PQ=|x_M-x_Q|，
即：-x²+2x+2=-x，
解得x=，x=（不合題意舍去）
∴P（，）
故存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為（2-，4-）或（，）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．