Question

若將拋物線y=2x²左右平移使其與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，若△AOB的面積為8．
（1）求平移后拋物線的解析式；
（2）在平移后的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△AOP的面積與△ABO的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)平移后拋物線的解析式為y=2（x+h）²，再利用h分別表示A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式得到

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|h|•2h²=8，解得h=±2，所以平移后拋物線的解析式為y=2（x+2）²，或平y(tǒng)=2（x-2）²；
（2）分類討論：當(dāng)平移后拋物線的解析式為y=2（x+2）²時(shí)，由于△AOP的面積與△ABO的面積相等，而兩個(gè)三角形等底，則點(diǎn)P與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，8）；用同樣的方法得到當(dāng)平移后拋物線的解析式為y=2（x-2）²時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8）．

解答：解：（1）設(shè)平移后拋物線的解析式為y=2（x+h）²，
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（h，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2h²），
∵△AOB的面積為8，
∴

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|h|•2h²=8，解得h=±2，
∴平移后拋物線的解析式為y=2（x+2）²，或平y(tǒng)=2（x-2）²；
（2）存在．
當(dāng)平移后拋物線的解析式為y=2（x+2）²時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）
∵△AOP的面積與△ABO的面積相等，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，8）；
當(dāng)平移后拋物線的解析式為y=2（x-2）²時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）
同理可得P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．