Question

9．如圖，以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，交矩形的對(duì)角線BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，連接EF．
（1）試判斷EF與⊙O的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若DC=2，EF=$\sqrt{3}$，點(diǎn)P是⊙O上除點(diǎn)E、C外的任意一點(diǎn)，則∠EPC的度數(shù)為60°或120°（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）直線EF與⊙O相切．理由如下：如圖，連接OE、OF．通過(guò)△EFO≌△CFO（SAS），證得∠FEO=∠FCO=90°，則直線EF與⊙O相切．
（2）若點(diǎn)P在弧EC上可根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EPC+∠D=180°、若點(diǎn)P在弧EDC上由圓周角定理可得∠EPC=∠D，利用（1）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等求得FC=EF=$\sqrt{3}$，所以通過(guò)解直角△BCD來(lái)求∠D的度數(shù)即可．

解答 解：（1）直線EF與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OE、OF．

∵OD=OE，
∴∠1=∠D．
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是DC的中點(diǎn)，
∴OF∥BD，
∴∠3=∠D，∠2=∠1，
∴∠2=∠3．
在△EFO與△CFO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OE=OC}\\{∠2=∠3}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△EFO≌△CFO（SAS），
∴∠FEO=∠FCO=90°，
∴直線EF與⊙O相切．

（2）如圖，連接DF．
∵由（1）知，△EFO≌△CFO，
∴FC=EF=$\sqrt{3}$．
∴BC=2$\sqrt{3}$
在直角△FDC中，tan∠D=$\frac{BC}{DC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠D=60°．
當(dāng)點(diǎn)P在$\widehat{EC}$上時(shí)，
∵點(diǎn)E、P、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠EPC+∠D=180°，
∴∠EPC=120°，
當(dāng)點(diǎn)P在$\widehat{EDC}$上時(shí)，
∠EPC=∠D=60°，
故答案為：60°或120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．