Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，點D為邊BC上的點，連接AD，∠BAD=α，點D關于AB的對稱點為E，點E關于AC的對稱點為G，線段EG交AB于點F，連接AE，DE，DG，AG．

（1）依題意補全圖形；

（2）求∠AGE的度數(shù)（用含α的式子表示）；

（3）猜想：線段EG與EF，AF之間是否存在一個數(shù)量關系？若存在，請寫出這個數(shù)量關系并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠AGE=60°－α；（3）EG=2EF+AF，見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意和軸對稱的性質，補全圖形即可；

（2）連接AE，根據(jù)對稱的性質可得AB為ED的垂直平分線，AC為EG的垂直平分線，然后根據(jù)垂直平分線的性質可得AE=AG=AD，即可求出∠EAC和∠EAG，然后根據(jù)等邊對等角和三角形的內角和定理即可求出結論；

（3）在FG上截取NG=EF，連接AN，利用SAS即可證出△AEF≌△AGN，從而得出AF=FN，即可得出結論．

解：（1）補全圖形：如圖所示．

（2）連接AE

由對稱性可知，AB為ED的垂直平分線，AC為EG的垂直平分線．

∴AE=AG=AD．

∴∠AEG=∠AGE，∠BAE=∠BAD=α．

∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°＋α．

∴∠EAG=2∠EAC=60°＋2α．

∴∠AGE==60°－α

（3）存在，即：EG=2EF+AF．

證明：在FG上截取NG=EF，連接AN．

∵AE=AG，

∴∠AEG=∠AGE．

∵EF=GN

∴△AEF≌△AGN．

∴AF=AN．

∵∠EAF=α，∠AEG=60°－α．

∴∠AFN=∠EAF ＋∠AEG=60°．

∴△AFN為等邊三角形．

∴AF=FN．

∴EG=EF+FN+NG=2EF+AF．