Question

11．已知⊙O的半徑為r，作⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．
（Ⅰ）正方形ABCD的邊長為$\sqrt{2}$r；
（Ⅱ）在圖中，只用一把圓規(guī)畫出正方形ABCD的四個頂點，并簡要說明四個頂點的位置是如何找到的（不要求證明）作法：①以圓上任意一點E為圓心，以r為半徑畫圓，交⊙O于C和F，
②以F為圓心，以r為半徑畫圓，與⊙E交于O和G，與⊙O交于另一點A，
③作直線OG，交⊙O于D、B，
A、B、C、D連成四邊形就是所求作的正方形．．

Answer 1

分析 （1）連接半徑，根據(jù)勾股定理求邊長即可；
（2）以圓上任意取一點為圓心，r為半徑畫圓，交⊙O于兩點，再以其中任意一點為圓心，r為半徑畫圓，連接兩圓的公共點交⊙O于兩點，則可得到圓內(nèi)接正方形．

解答 解：（1）如圖1，連接OA、OD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA⊥OD，
∵OA=OD=r，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$r，
∴正方形ABCD的邊長為$\sqrt{2}$r；
故答案為：$\sqrt{2}$r；
（2）如圖2，
故答案為：
作法：①以圓上任意一點E為圓心，以r為半徑畫圓，交⊙O于C和F，
②以F為圓心，以r為半徑畫圓，與⊙E交于O和G，與⊙O交于另一點A，
③作直線OG，交⊙O于D、B，
A、B、C、D連成四邊形就是所求作的正方形．

點評 本題考查了圓內(nèi)接正方形，熟練掌握圓內(nèi)接正方形的有關(guān)概念；明確圓內(nèi)接正方形的對角線就是外接圓的直徑，對于只用一把圓規(guī)畫出圓內(nèi)接正方形ABCD，比較復(fù)雜，構(gòu)建三個等圓，達到四等分圓周的結(jié)果．