Question

1．如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB=10，∠CBA=30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關(guān)于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F，當(dāng)點D從點A運動到點B時，線段EF的最小值是5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接CD，設(shè)ED交AC于點G，則點G為ED中點，可證得AC∥DF，得出C為EF中點，即EF=2CD，當(dāng)CD⊥AB是有最小值，可求得EF的最小值．

解答 解：連接CD，設(shè)AC于點DE交于點G，則EG=DG，且ED⊥AC，
∵DF⊥DE，
∴∠EGC=∠EDF=90°，
∴AC∥DF，且G為ED中點，
∴EC=FC，即EF=2CD，
∴當(dāng)線段EF最小時，線段CD也最小，
根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)CD⊥AD時線段CD最小，
∵AB是半圓O 的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，∠CBA=30°，
∴AC=5，BC=5$\sqrt{3}$，
當(dāng)CD⊥AD時，CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，此時EF=2CD=5$\sqrt{3}$、
故答案為：5$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查圓周角定理及軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，題中把EF的值轉(zhuǎn)化成CD的值是解答此題的關(guān)鍵．