Question

16．如圖，已知菱形ABCD中，AD∥BC，AD=$\sqrt{2}$，點(diǎn)O是AD上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OD長為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)C，與BD相交于點(diǎn)E，連接OC，AC，分別與BD相交于點(diǎn)F，G．
（1）求∠ACO的度數(shù)和tan∠ACO的值；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明△OCD是等腰直角三角形，再求出OC、OD，利用∠ACO=∠ACD-∠OCD即可解決問題．
（2）連接OE，作FK⊥OE于K，證明△OKF是等腰直角三角形，求出KF，根據(jù)S_陰=S_扇形O-EC-S_△OEF進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵BC是⊙O的切線，
∴OC⊥BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，
∴AD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=45°，
∵DA=DC=$\sqrt{2}$，
∴∠DAC=∠DCA=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，OD=OC=1，
∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=22.5°，
tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$=$\sqrt{2}$-1．
（2）連接OE，作FK⊥OE于K．
∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=45°，
∴∠ADB=∠BDC=22.5°，
∴∠EOC=2∠EDC=45°，
∵DO∥BC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{OF}{FC}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{OF}{1-0F}$，
∴OF=$\sqrt{2}$-1．
∴OK=KF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$-1）=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$•OE•KF=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴S_陰=S_扇形O-EC-S_△OEF=$\frac{45π•{1}^{2}}{360}$-（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=$\frac{π}{8}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、扇形的面積等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積的方法，屬于中考�？碱}型．