Question

8．如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，∠A=∠B，OA，OB分別交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：AE=BF；
（2）若D是優(yōu)弧EF上一點(diǎn)，連接DE，DC，$\frac{OB}{AB}$=$\frac{5}{8}$，求tan∠CDE的值．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的判定得到OA=OB，然后兩邊都減去半徑即可得到結(jié)論；
（2）作直徑CG，連接EG，連接EF交CG于H，如圖，先證明∠CEH=∠CDE，設(shè)OB=5x，AB=8x，則AC=BC=4x，再利用勾股定理計算出OC，接著利用相似比計算出EH、OH，從而得到CH的長，然后利用正切的定義求解．

解答 （1）證明：∵∠A=∠B，
∴OA=OB，
∴OA-OE=OB-OF，
即AE=CF；
（2）解：作直徑CG，連接EG，連接EF交CG于H，如圖，
∵CG為直徑，
∴∠CEG=90°，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥AB，
∴∠ECG=90°，
∴∠ACE=∠G，
而∠G=∠CDE，
∴∠ACE=∠CDE，
∵OE：AE=OF：BF，
∴EF∥AB，
∴∠ACE=∠CEH，EF⊥OC，
∴∠CEH=∠CDE，
由$\frac{OB}{AB}$=$\frac{5}{8}$，設(shè)OB=5x，AB=8x，則AC=BC=4x，
在Rt△AOC中，OC=$\sqrt{（5x）^{2}-（4x）^{2}}$=3x，
∵EH∥AC，
∴$\frac{EH}{AC}$=$\frac{OH}{OC}$=$\frac{OE}{OA}$，即$\frac{EH}{4x}$=$\frac{OH}{3x}$=$\frac{3x}{5x}$，解EH=$\frac{12}{5}$x，OH=$\frac{9}{5}$x，
∴CH=OC-OH=3x-$\frac{9}{5}$x=$\frac{6}{5}$x，
在Rt△CEH中，tan∠CEH=$\frac{CH}{EH}$=$\frac{\frac{6}{5}x}{\frac{12}{5}x}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠CDE的值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．解決（2）小題的關(guān)鍵是證明∠CEH=∠CDE．